结论：在申请退税时，租房未签订合同但有支付租金记录，有可能可以作为租房支出的证明，但能否成功退税还需结合具体情况判断。以下从不同角度为你详细分析：

1. 从税务政策角度
   • 根据相关个人所得税专项附加扣除政策，纳税人享受住房租金专项附加扣除，需要留存住房租赁合同、协议等有关资料备查。不过，政策并未绝对排除其他能证明租房事实的资料。
   • 支付租金记录在一定程度上可以证明你实际发生了租房支出这一事实。如果税务机关在审核时，认可这种支付记录作为辅助证明材料，结合其他能够证明你在当地没有自有住房等情况的证据，那么就有可能允许你享受住房租金专项附加扣除从而进行退税。
2. 从证据效力角度
   • 住房租赁合同是证明租房关系最直接、最有力的证据，它明确了双方的权利义务，包括租金、租赁期限等重要信息。而仅有支付租金记录，其证据效力相对较弱。
   • 支付租金记录可能存在多种情况，比如可能是借款还款记录误认为是租金支付，或者存在其他非租房性质的资金往来。所以税务机关在审核时可能会比较谨慎，会要求你提供更多的证据来佐证租房事实。例如，你可以提供房东的身份信息、房屋的地址信息、与房东沟通租房事宜的聊天记录等，来增强支付租金记录与租房事实之间的关联性和可信度。
3. 从实际操作角度
   • 不同地区的税务机关在执行政策时可能会存在一定的差异。有些地区的税务机关可能相对宽松，在核实了支付租金记录的真实性以及你确实符合住房租金专项附加扣除的其他条件后，会允许你进行退税申报。
   • 而有些地区的税务机关可能会严格按照政策要求，要求你必须提供住房租赁合同才能享受该项扣除。在这种情况下，如果你无法提供合同，可能就无法成功退税。

建议：你可以先按照有支付租金记录以及其他能证明租房事实的资料进行退税申报。在申报过程中，如实填写相关信息，并妥善保存好支付租金记录等资料。如果税务机关在审核过程中要求你补充材料或者对租房事实存在疑问，你要积极配合提供更多的证据。要是你对具体的操作流程或者政策理解还有疑问，可以直接向我咨询。