当遇到员工不肯续签劳动合同的情况，企业可以按照以下步骤处理：

1. 了解员工拒绝续签的原因
   企业应首先与员工进行沟通，了解其拒绝续签的具体原因。常见原因可能包括：对现有合同条款不满（如薪资、福利、工作时间等）、个人职业规划变化、找到新的工作机会、对公司环境或管理不满等。了解原因后，企业可以更有针对性地采取措施。

2. 评估是否需要挽留员工
   如果员工是关键岗位人才或对企业有重要价值，企业可以考虑是否值得挽留。挽留措施可能包括：调整合同条款（如提高薪资、改善福利）、提供职业发展机会、解决员工对公司的具体不满等。如果企业决定挽留，应尽快与员工协商并达成一致。

3. 依法处理合同终止事宜
   如果员工坚持不续签，企业应依法处理合同终止事宜。根据《劳动合同法》的相关规定：

   • 经济补偿：如果员工因企业原因（如未提供劳动条件、未及时支付劳动报酬等）而不愿续签，企业可能需要支付经济补偿。但如果员工是因个人原因不愿续签，且企业不存在过错，则无需支付经济补偿。
   • 工作交接：企业应要求员工按照合同约定或公司规定完成工作交接，确保公司业务的连续性和稳定性。
   • 离职手续：企业应协助员工办理离职手续，包括但不限于：结清工资、退还公司财物、转移社保和公积金等。

4. 预防类似情况再次发生
   企业可以借此机会反思自身在劳动合同管理、员工关系维护等方面存在的问题，并采取措施加以改进。例如：

   • 完善合同条款：确保合同条款公平、合理，符合法律法规要求，减少因合同条款问题引发的纠纷。
   • 加强员工沟通：定期与员工进行沟通，了解其需求和期望，及时解决员工的问题和不满，增强员工的归属感和忠诚度。
   • 提供职业发展机会：为员工提供明确的职业发展路径和晋升机会，激发员工的工作积极性和创造力。

5. 法律风险防范
   在处理员工不肯续签劳动合同的过程中，企业应注意防范法律风险。例如：

   • 避免强迫续签：企业不得强迫员工续签劳动合同，否则可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。
   • 保留相关证据：企业应保留与员工沟通、协商的相关证据，以备不时之需。
   • 及时咨询专业意见：如果企业对处理方式存在疑问或不确定，应及时咨询专业律师或法律顾问的意见，确保处理方式的合法性和合规性。

总之，当遇到员工不肯续签劳动合同的情况时，企业应保持冷静、理性处理，依法维护自身权益的同时，也尽量维护良好的员工关系。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。