结论：仲裁裁决书送达20天后申诉人未收到被申诉人向法院起诉的通知，并不意味着裁决书一定已生效，这取决于被申诉人是否在法定期限内提起了诉讼。
分析说明：
仲裁裁决书的生效条件：
- 根据《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，仲裁裁决书并非送达后立即生效，而是有一定的起诉期限。在这个期限内，如果任何一方对裁决结果不服，都可以向人民法院提起诉讼。
- 如果在法定期限内（通常是收到裁决书之日起十五日内）没有提起诉讼，那么仲裁裁决书就会发生法律效力。
未收到起诉通知的可能情况：
- 被申诉人未提起诉讼：如果被申诉人在法定期限内没有向法院提起诉讼，那么仲裁裁决书就会生效。此时，申诉人即使未收到起诉通知，也可以认为裁决书已经生效。
- 被申诉人已提起诉讼但通知未送达：另一种可能是被申诉人已经在法定期限内提起了诉讼，但由于各种原因（如邮寄延误、地址错误等），申诉人尚未收到法院的起诉通知。在这种情况下，仲裁裁决书并未生效，因为诉讼程序已经启动。
如何确认裁决书是否生效：
- 申诉人可以主动联系当地法院，查询是否有针对该仲裁裁决书的诉讼案件。如果有，则说明裁决书尚未生效；如果没有，且法定期限已过，则可以认为裁决书已经生效。
- 申诉人也可以等待一段时间（如超过法定期限后的一段时间），如果在此期间内未收到任何关于诉讼的通知或信息，那么可以合理推断裁决书已经生效。
建议与行动：
- 主动查询：为了尽快明确裁决书的生效状态，申诉人应主动联系当地法院进行查询。
- 保留证据：在查询过程中，申诉人应保留好所有与仲裁裁决书相关的证据和文件，以备不时之需。
- 法律咨询：如果申诉人对裁决书的生效状态或后续行动有任何疑问或不确定之处，应及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和指导。
后续法律后果：
- 如果裁决书已经生效，那么双方应按照裁决书的内容履行各自的义务。如果一方不履行，另一方可以向人民法院申请强制执行。
- 如果裁决书尚未生效（即被申诉人已提起诉讼），那么双方将进入诉讼程序，由法院对争议进行审理并作出判决。