敬老院油烟机噪音扰民的问题，主要归城管部门、生态环境部门以及可能涉及的市场监督管理部门来管。以下是从不同角度的详细分析：

1. 城管部门：

   • 主要职责：城管部门通常负责城市管理和综合执法，包括对油烟扰民等环境问题的监管。特别是当油烟机噪音扰民问题涉及到露天或未在室内妥善处理的烹饪活动时，城管部门会承担主要的监管职责。
   • 执法权限：如果敬老院的油烟机噪音超出规定标准，影响居民正常生活，城管部门有权进行查处，要求敬老院整改，如安装隔音设施、调整油烟机使用时间等。
   • 投诉渠道：居民可以通过政务服务便民热线12345或城市管理部门的服务热线进行投诉，城管部门会及时响应并处理。

2. 生态环境部门：

   • 主要职责：生态环境部门负责大气环境质量的监测和管理，对于油烟排放是否符合环保标准进行专业检测和判定。虽然油烟机噪音主要关注的是声音污染，但油烟排放和噪音往往相伴而生，且生态环境部门在处理环境问题时具有综合性和专业性。
   • 执法权限：如果油烟机噪音扰民问题同时伴随着油烟排放超标等环境问题，生态环境部门可以依法开展调查，并要求敬老院采取有效措施减少油烟和噪音污染。
   • 投诉渠道：居民同样可以通过政务服务便民热线12345和生态环境部门的举报电话进行投诉，生态环境部门会进行专业检测和处理。

3. 市场监督管理部门（在特定情况下）：

   • 主要职责：市场监督管理部门主要负责市场监管和行政执法，包括对经营主体的资质审查、食品安全监管等。虽然油烟机噪音扰民问题不直接属于其管辖范围，但如果敬老院在经营过程中因油烟机噪音问题影响了食品安全或违反了相关经营规定，市场监督管理部门可以依法进行处理。
   • 执法权限与投诉渠道：在此情况下，居民可以向市场监督管理部门反映问题，但通常建议先通过城管部门或生态环境部门进行投诉，因为这些问题更直接地与他们的职责相关。

综合建议：

• 居民在遇到敬老院油烟机噪音扰民问题时，应首先尝试与敬老院沟通协商，看是否能通过调整油烟机使用时间、安装隔音设施等方式解决问题。
• 如果沟通无果，居民可以根据问题的具体性质（如是否同时伴随油烟排放超标等），选择向城管部门或生态环境部门进行投诉。
• 在投诉时，居民应提供详细的证据材料，如噪音测量记录、照片或视频等，以便相关部门能够更准确地了解问题并进行处理。
• 如果问题仍未得到解决，居民可以考虑通过法律途径维护自身权益，如咨询律师或提起诉讼。在此过程中，我可以为你提供专业的法律咨询和帮助。

希望以上分析能对你有所帮助，如果你还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。