当遇到变更羁押期限超期的情况时，被羁押人及其法定代理人、近亲属或辩护人等有权采取一系列措施来维护合法权益。以下是对此问题的详细解答：
一、明确法律规定与羁押期限
首先，需要了解我国法律对羁押期限的明确规定。《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释详细规定了不同诉讼阶段的羁押期限，包括侦查阶段、审查起诉阶段和审判阶段的最长羁押时间。若羁押超过这些法定期限，即构成超期羁押，这是不合法的，需要采取措施进行纠正。
二、超期羁押的应对措施
申请变更强制措施：
- 被羁押人或其辩护人可以依据《刑事诉讼法》的相关规定，向办案机关（如公安机关、人民检察院或人民法院）申请取保候审、监视居住等非羁押性强制措施。
- 申请时，需提交书面材料，详细说明超期羁押的事实及理由，并提供相关证据支持，如羁押期限的计算、相关法律文书的复印件等。
提出申诉或控告：
- 若办案机关未予答复或拒绝变更强制措施，被羁押人或其辩护人有权向同级人民检察院提出申诉或控告。
- 人民检察院将依法进行监督，要求办案机关说明超期羁押的理由，并视情况作出纠正决定。这是维护被羁押人合法权益的重要途径。
寻求法律援助：
- 被羁押人或其家属可联系律师或法律援助机构，获取专业法律帮助。
- 律师可协助分析案情，准备申请材料，并代表被羁押人与办案机关沟通协商，确保被羁押人的权益得到充分保障。
利用国家赔偿制度：
- 若最终确认存在超期羁押且导致人身自由损害，被羁押人有权依据《国家赔偿法》申请国家赔偿。
- 需通过司法程序确认违法事实后，向责任机关提出赔偿请求。国家赔偿是对被羁押人因超期羁押所受损失的一种补偿。
三、特殊情况处理：羁押期限超过刑期
当羁押期限超过刑期时，法律也有明确规定来处理这种情况：
折抵刑期：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，判决执行以前先行羁押的，羁押一日折抵刑期一日。这意味着，如果被告人在判决前已经被羁押，那么这部分羁押时间应当折抵相应的刑期。
立即释放：
- 如果在判决后，发现羁押期限已经超过了应判处的刑期，那么被告人应立即被释放。这是保障人权和司法公正的重要体现，确保被告人不会因超期羁押而受到不公正的待遇。
国家赔偿（如适用）：
- 在某些情况下，如果羁押超期是由于司法机关的错误或违法行为导致的，且对被告人造成了损害，被告人有权申请国家赔偿。根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，国家机关及其工作人员行使职权时侵犯公民人身自由的，每日赔偿金按照国家上年度职工日平均工资计算。
四、注意事项
及时行动：发现超期羁押后应尽快采取行动，避免延误维权时机。超期羁押可能对被羁押人的身心健康造成严重影响，因此及时采取措施至关重要。
保留证据：妥善保存与案件相关的所有文件资料，包括拘留通知书、逮捕决定书等法律文书。这些证据在后续的申诉、控告或国家赔偿申请中可能起到关键作用。
合法维权：全程遵循法律程序，避免采取过激行为影响案件处理。合法维权是确保被羁押人权益得到充分保障的前提，也是维护司法公正和法治秩序的重要体现。
综上所述，当遇到变更羁押期限超期的情况时，被羁押人及其法定代理人、近亲属或辩护人等应了解法律规定与羁押期限，采取申请变更强制措施、提出申诉或控告、寻求法律援助等应对措施，并在特殊情况下注意羁押期限超过刑期的处理方式。同时，要遵循法律程序，合法维权，确保被羁押人的权益得到充分保障。