结论：母子之间房产分割协议，母亲可以委托律师处理相关事宜，但“私下委托律师公证处理权”这一表述需要澄清和细化。公证通常需由公证处进行，律师可以协助准备材料、提供法律意见，但不能直接进行公证。

详细解释与建议：

1. 委托律师的作用：

   • 母亲可以委托律师来起草、审查或修改房产分割协议，以确保协议内容合法、有效，并充分保护母亲的权益。
   • 律师还可以就协议的法律后果、可能的风险等提供专业意见，帮助母亲做出明智的决策。

2. 公证的流程与要求：

   • 公证是由公证处进行的，旨在证明法律行为、有法律意义的文书和事实的真实性、合法性。
   • 如果母亲希望房产分割协议具有更强的法律效力，可以考虑进行公证。此时，律师可以协助准备公证所需的材料，如身份证明、房产证明、协议文本等，并陪同母亲前往公证处办理公证手续。
   • 公证并非必须由律师进行，但律师的协助可以确保公证过程的顺利进行，以及公证文书的合法性和有效性。

3. “私下委托律师公证处理权”的澄清：

   • “私下委托”可能意味着母亲希望不经过公开或正式的程序来处理房产分割事宜。然而，在法律上，公证是一个正式且公开的程序，需要遵循一定的法律规定和程序要求。
   • 律师不能“私下”进行公证，因为公证是由国家公证机构依法进行的。律师可以协助母亲准备公证材料、提供法律意见，并在公证过程中提供必要的法律支持。

4. 实际操作建议：

   • 如果母亲希望处理房产分割事宜，并考虑进行公证，建议首先咨询专业律师（如我），了解具体的法律程序和要求。
   • 律师可以根据母亲的具体情况和需求，起草或审查房产分割协议，并协助准备公证所需的材料。
   • 在公证过程中，律师可以提供必要的法律支持，确保公证的顺利进行和公证文书的合法性。

可能遇到的法律后果与风险：

• 如果房产分割协议未经公证或存在法律瑕疵，可能在后续的执行或争议解决中遇到困难。
• 如果母亲在委托律师处理房产分割事宜时未选择专业、可靠的律师，可能导致协议内容不合法、不有效，从而损害母亲的权益。

总结与建议：

母子之间房产分割协议的处理是一个涉及法律专业知识和程序要求的复杂过程。母亲可以委托律师来协助处理相关事宜，但应明确律师的角色和职责，以及公证的流程和要求。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业、全面的法律意见。