结论：房产证不写名字但私下签订协议，该协议可以进行公证，但公证并不直接赋予该协议在房产产权上的法律效力，其法律效力及执行需依据具体法律规定和协议内容来判断。

详细分析：

1. 公证的作用：

   • 公证是公证机构根据自然人、法人或者其他组织的申请，依照法定程序对民事法律行为、有法律意义的事实和文书的真实性、合法性予以证明的活动。
   • 公证可以增强协议的证据效力，使得在后续可能出现的纠纷中，该协议更容易被法院采纳作为证据。
   • 但公证并不改变协议本身的法律效力，即公证不赋予协议本身以法律上的强制执行力，也不直接决定协议是否能够产生物权变动的效果。

2. 房产证与产权的关系：

   • 房产证是房屋产权的法定证明文件，具有公示公信的效力。
   • 房产证上登记的名字通常被视为房屋的所有权人。
   • 私下签订的协议，即使经过公证，也不能直接改变房产证上的登记信息，即不能直接产生物权变动的效果。

3. 私下协议的法律效力：

   • 私下签订的协议，如果内容合法、双方意思表示真实且不违反法律、行政法规的强制性规定，则该协议在合同双方之间具有法律效力。
   • 但该协议的法律效力仅限于合同双方，不能对抗善意第三人。
   • 如果协议涉及房产的处分（如买卖、赠与等），且未办理房产过户手续，则该协议不能产生物权变动的效果。

4. 公证后的私下协议在房产纠纷中的处理：

   • 在房产纠纷中，如果双方对私下签订的协议存在争议，且该协议已经过公证，法院在审理时会考虑该协议的公证情况。
   • 但法院最终会根据协议内容、双方的实际履行情况、房产证登记信息以及相关法律法规来综合判断协议的法律效力和物权归属。

建议：

• 如果希望确保房产产权的明确和稳定，建议将相关人员的名字登记在房产证上。
• 如果因特殊原因无法在房产证上登记名字，但希望确保私下协议的法律效力，可以签订详细的书面协议，并考虑进行公证以增强证据效力。
• 但需注意，公证并不能直接解决房产产权问题，如需产生物权变动的效果，仍需依法办理房产过户手续。

后续行动：

• 如有具体的房产纠纷或私下协议需要处理，建议直接向我咨询，提供详细的协议内容和相关情况，以便给出更具体的法律建议。