私下签订的协议，只要符合法律规定，公证处是可以进行公证的。以下是对这一问题的详细解析：

一、公证的意义与效力

1. 增强法律效力：公证是公证机构根据自然人、法人或者其他组织的申请，依照法定程序对民事法律行为、有法律意义的事实和文书的真实性、合法性予以证明的活动。通过公证，私下签订的协议内容会得到公证机构的依法审查，确保其真实、合法，并符合双方的真实意愿，从而在法律效力上更为强大。
2. 提高证明力：经过公证的协议，在发生纠纷时，可以直接作为认定事实的根据，除非有相反证据足以推翻该项公证。这大大减轻了当事人的举证负担，提高了诉讼效率。

二、公证的条件

要使私下签订的协议能够公证，必须满足以下条件：

1. 内容合法性：协议内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，也不得违背公序良俗。这是公证机构进行审查的首要条件。
2. 行为能力：双方当事人必须具有相应的民事行为能力，即能够完全理解并自愿签订该协议。这是确保协议真实、合法的基础。
3. 真实意思表示：协议必须是双方真实意思的表示，不存在欺诈、胁迫等违法情形。这是维护协议公平、公正的关键。

三、公证的流程

1. 准备材料：当事人需携带身份证、协议文本以及与协议相关的证明材料（如涉及财产的协议，需提供财产权利凭证）。
2. 提出申请：双方共同向住所地、经常居住地、行为地或事实发生地的公证机构提出公证申请。若涉及不动产，则向不动产所在地的公证机构申请。
3. 受理与审查：公证机构对提交的材料进行初步审查，符合受理条件的予以受理。之后，公证员会对协议内容进行全面审查，包括双方当事人的意思表示、行为能力等。
4. 出具公证书：经审查认为申请公证的事项真实、合法的，公证机构会在规定时间内出具公证书。

四、特殊情况说明

1. 违法或违反公序良俗的协议：此类协议不能进行公证，因为其内容本身就不符合法律规定或社会公德。
2. 涉及特定领域或合同约定要求：在某些特定领域，如涉外经济合同、赠与房产等情况下，根据相关规定或当事人的约定，协议可能需要经过公证才能生效。例如，在赠与房产的情况下，为了确保赠与行为的合法性和有效性，往往需要对赠与协议进行公证。

五、实际应用建议

• 在签订私下协议时，双方应首先确保协议内容真实、合法，并符合各自的意愿。
• 如果协议涉及复杂的关系、大额财产或特定领域的要求，建议进行公证以增强协议的法律效力和证明力。
• 无论是否进行公证，双方都应妥善保管好协议原件及相关证据材料，以备不时之需。

综上所述，私下签订的协议在符合法律规定的前提下是可以进行公证的。公证不仅增强了协议的法律效力和证明力，还为当事人在后续纠纷解决中提供了有力的法律支持。如果您有具体的协议需要公证或有其他相关法律问题，欢迎直接向我咨询。