已经申请强制执行的民事调解书，当事人仍然可以申请再审，且再审申请不影响执行程序的进行。以下从多个角度为你详细分析：

一、再审申请的权利基础

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，如果认为存在错误，有权向上一级人民法院或原审人民法院（在特定条件下）申请再审。这一权利是法律赋予当事人的，旨在纠正可能的司法错误，确保司法公正。因此，即使案件已经进入强制执行阶段，当事人依然有权申请再审。

二、申请再审的条件

申请再审并非无条件，当事人需要满足一定的条件，这些条件主要包括：

1. 有新的证据：足以推翻原判决、裁定。新证据必须是在原审庭审结束前已客观存在但庭审结束后新发现的，或是原审庭审结束前已经发现但因客观原因无法取得或在规定的期限内不能提供的。
2. 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明。
3. 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的。
4. 原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证。
5. 其他法定情形：如当事人因客观原因不能自行收集主要证据，且书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集；原判决、裁定适用法律确有错误；审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避；无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼，或者应当参加诉讼的当事人因不能归责于本人或其诉讼代理人的事由未参加诉讼；违反法律规定，剥夺当事人辩论权利；未经传票传唤，缺席判决；原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求；据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更等。

三、申请再审的具体流程

1. 提交申请书：当事人需准备详细的再审申请书，并附上相关证据材料，提交给有管辖权的人民法院。
2. 法院审查：人民法院将对再审申请进行全面审查，包括申请是否符合法定条件、申请理由是否充分等。
3. 决定是否再审：若法院认为申请符合再审条件，将裁定启动再审程序；若不符合条件或理由不充分，将裁定驳回再审申请。
4. 再审审理：再审案件将进入重新审理阶段，按照法定程序进行，包括开庭审理、举证质证、法庭辩论等环节。
5. 作出再审判决：再审审理结束后，人民法院将根据查明的事实和适用的法律，作出再审判决或裁定。如果再审判决改变了原审判决的内容，将依法执行回转。

四、注意事项

1. 时间限制：申请再审应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。如有特殊情况，如当事人因不可归责于自身的原因未能在规定期限内提出再审申请，或者存在其他法定事由，可以在知道或应当知道之日起六个月内提出。
2. 执行回转：若再审判决改变了原审判决，根据法律规定，已执行的财产应予以返还，即执行回转。这意味着，如果再审成功，你有可能收回因原审判决而被执行的财产。

五、再审申请与强制执行的关系

再审申请与判决、裁定的执行可以并行不悖。即使你申请了再审，原判决、裁定的执行程序仍然可以继续进行。但是，如果再审判决改变了原审判决，执行程序将相应地进行调整，如执行回转等。

温馨提示：如果你认为已经发生法律效力的民事调解书存在错误，且符合再审条件，不妨及时准备再审申请书及相关证据材料，向有管辖权的人民法院提交再审申请。如果你在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。