结论：事业单位工作人员因嫖娼两次被拘留，且第一次是13年前，是否会被开除，需结合具体情况分析，若第二次嫖娼行为发生在近年内且情节严重，或符合事业单位开除的相关规定，则存在被开除的可能性；若情节较轻或不符合开除条件，则可能不会被开除。以下为详细分析：

一、事业单位工作人员处分规定

根据《事业单位工作人员处分暂行规定》等相关规定，事业单位工作人员有违法违纪行为，应当给予处分的，根据违法违纪行为的性质、情节、危害程度等，依照本规定给予处分。处分种类包括警告、记过、降低岗位等级或者撤职、开除等。其中，开除是最严厉的处分，通常适用于严重违法违纪，且造成恶劣影响或严重后果的情形。

二、嫖娼行为的法律性质及后果

嫖娼行为违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，属于违法行为。对于嫖娼者，公安机关可以依法给予拘留、罚款等行政处罚。然而，行政处罚本身并不直接等同于事业单位的开除处分。事业单位在决定是否给予开除处分时，会综合考虑违法违纪行为的性质、情节、危害程度以及工作人员的一贯表现等因素。

三、具体情境分析

1. 若第二次嫖娼行为发生在近年内：

   • 如果该行为情节严重，如多次嫖娼、在公共场所招嫖等，且造成了恶劣的社会影响或严重损害了事业单位的形象和声誉，那么事业单位有可能依据相关规定给予开除处分。
   • 如果该行为情节较轻，且事业单位认为可以通过其他处分方式（如警告、记过等）达到惩戒和教育目的，那么可能不会给予开除处分。

2. 若考虑第一次嫖娼行为（13年前）：

   • 通常情况下，13年前的违法行为已经超过了行政处罚的追诉时效（根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，违反治安管理行为在六个月内没有被公安机关发现的，不再处罚），且不太可能对当前的事业单位处分决定产生直接影响。
   • 但是，如果第一次嫖娼行为在事业单位内部有记录，且事业单位在考虑处分时将其作为工作人员一贯表现的一部分进行综合评估，那么该行为可能间接影响处分决定的作出。不过，这种影响通常较小，且需要结合其他因素进行综合判断。

四、建议与注意事项

• 事业单位工作人员应严格遵守法律法规和职业道德规范，避免参与任何违法违纪活动，以免给自己和事业单位带来不必要的麻烦和损失。
• 如果面临类似情况，建议及时咨询专业律师或相关法律机构，了解自己的权利和义务，以及可能面临的法律后果和处分措施。
• 在事业单位内部处理过程中，应积极配合调查和处理工作，如实陈述事实、提供证据材料，并争取从轻或减轻处分的可能性。

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