结论：关于您提出的孩子爸爸去世后，孩子妈妈和孩子奶奶分别抚养一个孩子是否可以起诉的问题，这主要取决于具体的法律诉求和事实情况。以下是从不同角度进行的分析：
抚养权与抚养费问题：
- 抚养权：在父母一方去世的情况下，另一方（即孩子妈妈）通常自动成为孩子的法定监护人，享有抚养权。如果孩子奶奶也希望参与抚养，这更多是基于家庭内部的协商和安排，而非法律上的强制要求。除非孩子妈妈存在不适合抚养的情形（如虐待、遗弃等），否则孩子奶奶不能单方面通过法律手段获得抚养权。
- 抚养费：如果孩子奶奶实际抚养了孩子，并且因此产生了额外的经济负担，她有权向孩子妈妈（或孩子的其他法定继承人，在特定情况下）要求支付一定的抚养费或经济帮助。但这需要基于具体的经济情况和法律条款进行协商或诉讼。
起诉的法律依据与可能性：
- 起诉抚养权变更：如果孩子奶奶认为孩子妈妈不适合抚养孩子，想要通过法律手段变更抚养权，这通常需要提供充分的证据证明孩子妈妈存在不适合抚养的情形，如虐待、遗弃、严重疾病等。在这种情况下，孩子奶奶可以作为利害关系人向法院提起诉讼，请求变更抚养权。
- 起诉要求支付抚养费：如果孩子奶奶实际抚养了孩子，并且因此产生了经济负担，她可以向法院提起诉讼，要求孩子妈妈支付抚养费。这通常需要提供相关的经济支出证明和抚养事实的证据。
实际操作建议：
- 家庭内部协商：在考虑法律手段之前，建议家庭内部先进行协商，尝试达成一个对双方都公平且有利于孩子成长的抚养安排。
- 收集证据：如果决定通过法律手段解决问题，务必提前收集好相关证据，如经济支出证明、抚养事实的证据、孩子妈妈不适合抚养的证据等。
- 咨询专业律师：由于每个家庭的具体情况不同，法律条款的适用也可能有所差异。因此，在采取任何法律行动之前，建议咨询专业律师以获取更具体和个性化的法律建议。
总结与提醒：在处理这类问题时，最重要的是要考虑到孩子的利益和福祉。家庭内部的协商和沟通往往是解决问题的最佳途径。如果确实需要通过法律手段来解决争议，务必确保有充分的证据和合理的法律依据来支持自己的诉求。如果您有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。