结论概述：
公司提出续签劳动合同而员工一直不签但继续上班的情况，涉及劳动合同的续签、事实劳动关系的认定以及可能的法律后果。以下将从多个角度对此进行分析。
一、劳动合同续签的法律要求
续签通知与期限：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满前，用人单位应当提前通知劳动者续签劳动合同，并明确续签的条件和期限。若用人单位未提前通知或劳动者拒绝续签，则原劳动合同期满即终止。
续签意愿的表达：
- 劳动者有权选择是否续签劳动合同。若劳动者明确表示不续签，则劳动合同到期自然终止，双方劳动关系随之解除。
二、员工不签续签合同但继续上班的法律后果
事实劳动关系的认定：
- 若员工在劳动合同期满后未续签但继续上班，且用人单位未提出异议，则双方可能形成事实劳动关系。事实劳动关系下，劳动者仍享有劳动法规定的各项权益，如获得劳动报酬、享受社会保险等。
用人单位的风险：
- 未签合同的双倍工资：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。若员工在劳动合同期满后继续上班且未续签，用人单位可能面临支付双倍工资的风险。
- 解除劳动关系的补偿：若用人单位希望解除与员工的事实劳动关系，需依法支付经济补偿金。经济补偿金的计算依据是劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
员工的权益与风险：
- 权益保障：员工在事实劳动关系下仍享有劳动法规定的各项权益，如工资、福利、社会保险等。
- 风险承担：若员工希望继续与用人单位建立劳动关系，但未及时续签劳动合同，可能面临用人单位随时解除劳动关系的风险，且可能无法获得相应的经济补偿。
三、建议与措施
对于用人单位：
- 及时沟通：在劳动合同期满前，与员工进行沟通，明确续签意愿和条件。
- 书面确认：若员工同意续签，应及时签订书面劳动合同；若员工拒绝续签，应书面确认并办理离职手续。
- 风险防范：对于未续签但继续上班的员工，用人单位应尽快与员工协商并签订书面劳动合同，或依法解除劳动关系，以避免支付双倍工资和经济补偿金的风险。
对于员工：
- 明确意愿：在劳动合同期满前，明确自己的续签意愿，并与用人单位进行沟通。
- 保护权益：若希望继续与用人单位建立劳动关系，应及时续签劳动合同；若拒绝续签，应办理离职手续并确保自己的权益不受损害。
- 及时咨询：对于劳动合同续签和事实劳动关系等问题，如有疑问或需要法律帮助，应及时向专业律师咨询。
四、特殊情况处理
- 若员工在劳动合同期满后因特殊原因（如生病、休假等）无法及时续签劳动合同，但继续上班的，用人单位应视情况给予合理期限，并在期限内与员工协商续签事宜。若期限届满后员工仍未续签且继续上班的，用人单位可依法处理。
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