结论：外甥对生病的舅舅一般没有法定的陪护义务，但在特定情况下可能存在道德上的责任或基于其他法律关系的义务。

分析说明：

1. 法定义务层面：

   • 在我国法律体系中，直系亲属（如父母、子女、配偶）之间通常存在法定的扶养、赡养或抚养义务。然而，外甥与舅舅之间并不属于直系亲属关系，因此外甥对舅舅并没有法定的陪护义务。
   • 除非舅舅因年老、疾病等原因丧失劳动能力且无其他生活来源，且外甥具有负担能力，同时舅舅曾对外甥有过抚养教育等义务（这种情况较为特殊且罕见），否则外甥无法定陪护义务。

2. 道德责任层面：

   • 尽管法律上没有明确规定外甥必须陪护生病的舅舅，但从道德和伦理的角度来看，家庭成员之间应当相互扶持、关爱和帮助。如果外甥有能力且条件允许，陪护生病的舅舅是一种体现亲情和道德责任的行为。

3. 其他法律关系层面：

   • 如果外甥与舅舅之间存在其他法律关系（如遗赠扶养协议等），则可能根据协议内容产生特定的陪护义务。但这种情况需要具体的法律文件或协议来证明。

特殊场景：

• 在某些特殊情况下，如舅舅无其他直系亲属且生活无法自理，外甥可能基于人道主义精神或社会公德而承担一定的陪护责任。但这并非法律义务，而是道德层面的选择。

行动建议：

• 如果您作为外甥，面临是否陪护生病的舅舅的抉择，建议您首先评估自己的能力和条件。如果您有能力且愿意承担这一责任，那么陪护舅舅将是一种体现亲情和道德的行为。
• 如果您因工作、生活等原因无法亲自陪护，可以考虑为舅舅安排专业的护理服务或寻求其他家庭成员的帮助。
• 在任何情况下，都建议您与舅舅及其他家庭成员进行充分沟通，共同协商解决方案，以维护家庭和谐和亲情关系。

后续思考：

• 家庭关系中的责任和义务往往涉及情感、道德和法律等多个层面。在处理这类问题时，我们需要综合考虑各种因素，以做出既符合法律要求又体现人文关怀的决策。
• 如果您在处理类似问题时遇到法律困惑或纠纷，欢迎随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。