针对您描述的“私人先垫付，公账到对方公司账户，对方一直不开发票且私人垫付不退还”的情况，可按照以下思路处理：
- 明确法律关系与责任主体
首先需梳理资金流向与合同关系：
- 若您代表公司垫付，且款项最终进入对方公司账户，则法律关系主体应为您所在公司与对方公司，您个人与对方公司无直接合同关系。此时应由公司作为权利主体主张权利，您可向公司说明情况并协助追偿。
- 若您以个人名义垫付且无公司授权，则可能构成无权代理或个人借贷关系，需根据具体证据（如垫付协议、公司追认文件等）确定责任主体。
- 分情况主张权利
情况一：对方公司未履行发票开具义务
根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售方在收取款项后应向付款方开具发票。若对方公司拒开发票，您可采取以下措施：
- 向税务机关举报：携带付款凭证（如银行转账记录）、合同等证据，向对方公司所在地税务机关举报其未按规定开具发票的行为，税务机关将依法查处并责令补开。
- 通过诉讼主张权利：若因未开发票导致您或公司无法税前扣除、产生税务损失，可起诉要求对方公司赔偿损失（需证明损失与未开发票的因果关系）。
情况二：对方公司未退还私人垫付款
若您以个人名义垫付且对方公司拒不退还，需根据资金性质主张权利：
- 若垫付款属于借款：可凭转账记录、聊天记录等证据，以民间借贷纠纷为由起诉对方公司，要求返还借款并支付利息（如有约定）。
- 若垫付款属于代付货款/服务费：需证明您与对方公司存在代付约定（如口头协议、书面委托书等），否则可能因缺乏合同关系而面临举证困难。此时可尝试与对方公司协商补签协议，或通过公司追认垫付行为后以公司名义主张权利。
- 关键证据收集与诉讼策略
无论选择哪种途径，均需提前收集以下证据：
- 付款凭证：银行转账记录、支付截图等，证明资金已实际支付至对方公司账户。
- 合同或协议：与对方公司签订的买卖合同、服务合同等，证明交易关系存在。
- 沟通记录：微信、邮件等聊天记录，证明您曾催要发票或垫付款。
- 税务损失证明：如因未开发票导致多缴纳税款的完税证明、税务机关出具的处罚决定等（适用于情况一）。
诉讼风险提示：若对方公司已无实际经营能力或财产，即使胜诉也可能面临执行困难。建议在起诉前申请财产保全，或通过调解、和解等方式尽快解决纠纷。
- 预防性建议
为避免类似纠纷，建议未来在类似交易中：
- 明确资金性质：在转账备注中注明“垫付款”“借款”等性质，避免模糊表述。
- 签订书面协议：与对方公司签订书面合同，明确付款方式、发票开具时间、违约责任等条款。
- 保留沟通记录：及时通过书面形式催要发票或垫付款，并留存对方确认的回复。
如需进一步分析具体证据或制定诉讼方案，可提供详细信息后向我咨询。