结论：即使没有和工人签订劳动合同，在工人发生事故后，仍然可以申请劳动仲裁，但需要先确认双方存在事实劳动关系，并准备好相关证据。

详细分析：

1. 事实劳动关系的认定：

   • 根据《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，即使没有签订书面劳动合同，只要双方存在事实上的劳动关系，即劳动者为用人单位提供劳动，接受用人单位的管理，并由用人单位支付劳动报酬，就可以认定为存在劳动关系。
   • 在这种情况下，工人发生事故后，有权享受工伤保险待遇，如果用人单位未为工人缴纳工伤保险，那么相关待遇应由用人单位承担。

2. 劳动仲裁的申请：

   • 工人或其家属在确认存在事实劳动关系后，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位承担相应的工伤保险责任。
   • 申请劳动仲裁时，需要提交相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明双方存在劳动关系以及事故的发生和损害情况。

3. 证据的准备：

   • 由于没有签订书面劳动合同，证据的准备尤为重要。工人或其家属应尽可能收集能够证明双方存在劳动关系的证据，如上述提到的工资支付记录、工作证等。
   • 同时，还需要准备事故发生的证据，如现场照片、医疗记录、报警记录等，以证明事故的发生和损害情况。

4. 可能的法律后果：

   • 如果劳动争议仲裁委员会认定双方存在劳动关系，并确认事故属于工伤范围，那么用人单位将需要承担相应的工伤保险责任，包括支付医疗费用、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金等。
   • 如果用人单位拒绝承担责任，工人或其家属还可以向人民法院提起诉讼，要求用人单位承担相应的法律责任。

建议：

• 对于工人或其家属来说，在发生事故后，应尽快收集相关证据，并咨询专业律师，了解自己的权益和可能的法律途径。
• 对于用人单位来说，应尽快与工人签订书面劳动合同，并为其缴纳工伤保险，以降低法律风险。同时，在发生事故后，应积极配合工人或其家属的处理工作，避免引发不必要的法律纠纷。

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