结论前置：在我国法律框架下，跟孩子断绝父子关系这一行为，其法律效力和后果需根据关系的性质（自然血亲或拟制血亲）来具体判断。自然血亲的父子关系无法通过任何方式断绝，而拟制血亲的父子关系在符合法定条件和程序时可以解除。
一、自然血亲的父子关系
定义与特性：
- 自然血亲的父子关系是基于孩子的出生事实而产生的，这种关系具有不可更改性，是永恒的。
- 无论双方是否愿意，这种血缘关系都无法通过法律程序或其他方式人为地解除。
法定义务：
- 父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，这是法定的，不会因为所谓的“断绝关系”而消除。
- 同样，成年子女对父母也负有赡养、扶助和保护的义务。
法律责任：
- 如果父母或子女以断绝关系为由拒绝履行上述法定义务，将构成违法行为。
- 情节严重的，可能构成遗弃罪，依据《中华人民共和国刑法》的相关规定，将受到法律的制裁。
二、拟制血亲的父子关系
拟制血亲的父子关系主要指的是通过收养或继父母抚养等法律行为形成的父子关系。
收养关系：
- 收养关系是可以依法解除的，但需满足一定的条件和程序。
- 例如，收养人在被收养人成年以前，不得解除收养关系，但收养人、送养人双方可以协议解除，且需征得八周岁以上养子女的同意。
- 若收养人不履行抚养义务或有虐待、遗弃等行为，送养人有权要求解除收养关系；若不能达成协议，可向人民法院提起诉讼。
- 收养关系解除后，相关的权利义务关系即行消除。
继父母子女关系：
- 继父母与继子女之间形成抚养教育关系的，在一定条件下也可以解除。
- 如生父与继母或生母与继父离婚时，对曾受其抚养教育的继子女，继父或继母不同意继续抚养的，应由生父母抚养，此时继父母子女关系在法律上可以解除。
三、实际影响与建议
实际影响：
- 即使双方签订了“断绝关系协议”，这也仅在情感层面上表达，不具备法律效力。
- 父亲犯罪不会直接导致子女承担法律责任，但在特定情境下（如政审、共有财产分割、社会舆论等），可能会对孩子产生间接影响。
建议：
- 面对家庭关系问题，应保持理性和客观的态度，寻求专业的法律建议和支持。
- 如果确实存在无法调和的家庭矛盾，可以考虑通过法律途径解决，如协议离婚、解除收养关系等，但务必遵循法定程序和条件。
总结：跟孩子断绝父子关系这一行为，在法律上需根据关系的性质来具体判断。自然血亲的父子关系无法断绝，双方需履行法定的抚养和赡养义务；而拟制血亲的父子关系在符合法定条件和程序时，可以依法解除。在实际生活中，如遇相关问题或困扰，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和支持。