教育机构能否因为老师有纹身而开除该老师，这主要取决于教育机构的相关规章制度以及该规章制度是否合法合理，同时需考虑纹身是否对教育教学工作产生了实质性影响。以下从几个方面进行详细分析：

1. 教育机构规章制度的角度：

   • 教育机构作为用人单位，有权制定内部规章制度来规范员工的行为。如果教育机构的规章制度中明确规定了员工不得有纹身，或者纹身属于违反师德师风、职业形象等规定的行为，那么教育机构在依据该规章制度进行开除处理时，从规章制度本身的角度看，是有一定依据的。
   • 但需要注意的是，规章制度的制定必须合法合理，不能违反法律法规的强制性规定，也不能侵犯员工的合法权益。如果规章制度中的相关规定过于苛刻或不合理，可能被视为无效条款。

2. 纹身是否影响教育教学工作的角度：

   • 纹身本身并不直接决定一个人是否适合从事教育工作。关键在于纹身是否对教育教学工作产生了实质性影响，比如是否分散了学生的注意力、是否影响了教师的职业形象等。
   • 如果纹身并未对教育教学工作产生负面影响，或者教育机构无法证明纹身对教育教学工作产生了实质性影响，那么仅凭纹身这一理由开除老师可能缺乏合理性。

3. 法律法规的角度：

   • 在劳动法律法规中，并没有明确规定员工不得有纹身，也没有规定因纹身可以开除员工。因此，教育机构不能仅凭纹身这一理由违反法律法规开除老师。
   • 如果教育机构以纹身为由开除老师，且该开除行为违反了法律法规或规章制度中的相关规定，老师有权向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。

建议：

• 对于教育机构而言，在制定规章制度时应充分考虑其合法性和合理性，避免制定过于苛刻或不合理的规定。同时，在处理员工问题时，应依据事实和法律法规进行，确保处理结果的公正性和合法性。
• 对于老师而言，如果因纹身问题被教育机构开除，且认为该开除行为不合理或违法，可以积极收集证据，向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。

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