结论：单亲妈妈遭羁押821天被判无罪，她有权依法申请国家赔偿，并可考虑追究相关人员的法律责任，同时，她也有权要求恢复名誉、消除影响。以下是对此问题的详细分析：

一、申请国家赔偿

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，国家机关和国家机关工作人员行使职权，有本法规定的侵犯公民、法人和其他组织合法权益的情形，造成损害的，受害人有依照本法取得国家赔偿的权利。
   • 在刑事案件中，若公民被错误羁押并最终被判无罪，其有权向作出错误羁押决定的机关申请国家赔偿。

2. 赔偿范围：

   • 赔偿范围通常包括被羁押期间的误工费、生活费以及因羁押造成的其他直接损失。
   • 具体赔偿标准需参照当地国家赔偿标准执行，一般会考虑被羁押的天数、当地平均工资水平等因素。

3. 申请流程：

   • 向作出错误羁押决定的机关（如公安局、检察院等）提出书面赔偿申请。
   • 提交相关证据材料，如无罪判决书、羁押证明等。
   • 等待机关受理并作出赔偿决定。若对赔偿决定不服，可依法向上一级机关申请复议或向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。

二、追究相关人员法律责任

1. 刑事责任：

   • 若在羁押过程中存在刑讯逼供、暴力取证等违法行为，相关人员可能构成犯罪，应依法追究其刑事责任。
   • 被判无罪的公民可向公安机关报案，要求追究相关人员的刑事责任。

2. 民事责任：

   • 若因错误羁押导致公民遭受经济损失或精神损害，相关人员还可能承担民事赔偿责任。
   • 公民可依法向人民法院提起民事诉讼，要求相关人员赔偿损失。

三、恢复名誉、消除影响

1. 名誉权保护：

   • 公民的名誉权受法律保护，错误羁押可能对其名誉造成损害。
   • 被判无罪的公民有权要求相关机关或个人公开道歉、恢复名誉、消除影响。

2. 具体措施：

   • 可通过媒体发布声明、召开新闻发布会等方式公开澄清事实。
   • 可要求相关机关在其官方网站或公告栏上发布道歉声明。

四、实际操作建议

1. 及时咨询专业律师：

   • 在处理此类复杂法律问题时，建议及时咨询专业律师，以确保自身权益得到充分保护。
   • 律师可以协助准备赔偿申请材料、提供法律咨询和代理诉讼等。

2. 保留相关证据：

   • 保留无罪判决书、羁押证明、相关医疗记录等证据材料，以备后续申请赔偿或追究法律责任时使用。

3. 关注赔偿进展：

   • 在申请国家赔偿过程中，关注赔偿进展情况，及时与赔偿义务机关沟通，确保赔偿申请得到及时处理。

如有进一步疑问或需要具体法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。