私立医院合同到期不续签，员工可依法主张经济补偿，并视情况选择维权路径。以下是具体分析：

一、经济补偿的法定标准

根据《劳动合同法》第46条、第47条，合同到期不续签属于用人单位应支付经济补偿的法定情形，补偿标准为：

1. 工作年限计算：每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的按1年计算；不满6个月的支付半个月工资。
2. 月工资基数：以合同终止前12个月的平均工资为准（含奖金、津贴等货币性收入），但不得超过当地社平工资3倍（超过部分不计入）。
3. 例外情形：若医院维持或提高原条件续签合同，员工拒绝续签的，医院无需支付补偿。

二、员工可采取的维权路径

1. 协商解决

   • 优先与医院沟通，要求出具书面终止通知并明确补偿金额。
   • 保留工资条、合同、工作证等证据，为后续维权做准备。

2. 申请劳动仲裁

   • 若协商无果，可在合同终止后1年内向当地劳动仲裁委员会提起仲裁，主张经济补偿及未签合同期间的双倍工资（如存在未签情形）。
   • 仲裁流程：提交申请书→受理→开庭审理→裁决（一般45日内结案）。

3. 提起诉讼

   • 对仲裁结果不服的，可在收到裁决书后15日内向法院起诉。
   • 诉讼优势：可全面审查证据，对复杂案件（如医院恶意不续签、违法解除等）更有利于维权。

三、特殊情形处理

1. 医院违法终止合同

   • 若医院未提前30日通知终止合同，或以欺诈、胁迫等手段迫使员工不续签，员工可主张赔偿金（标准为经济补偿的2倍）。

2. 员工处于特殊保护期

   • 若员工在孕期、产期、哺乳期或医疗期内，医院不得单方终止合同，否则构成违法解除，需支付赔偿金并恢复劳动关系。

四、操作建议

1. 立即取证：要求医院出具书面终止通知，保留工资记录、考勤记录等证据。
2. 计算补偿金额：根据工作年限和月工资基数自行核算，避免医院少算。
3. 及时维权：劳动争议仲裁时效为1年，逾期将丧失胜诉权。

提示：若医院拒绝支付补偿或存在其他违法行为，可直接向我咨询具体维权方案，我将结合您的实际情况提供详细指导。