若行政机关未给予书面答复，您可通过以下合法途径进行投诉或申请救济：

1. 申请行政复议
   根据《中华人民共和国行政复议法》第十一条、第二十三条，若行政机关未履行法定职责（如未在法定期限内作出书面答复），您可向其上一级行政机关或同级人民政府申请行政复议。复议机关需在60日内审查并作出决定，若确认行政机关不作为违法，可责令其限期履行职责或确认违法。
   操作要点：

   • 复议申请需在知道行政机关不作为之日起60日内提出（法律另有规定的除外）；
     
   • 需提交书面申请，载明申请人信息、复议请求、事实与理由，并附相关证据材料。

2. 提起行政诉讼
   依据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条、第四十七条，若行政机关拒绝履行或逾期未答复，您可直接向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决行政机关履行法定职责或确认其不作为违法。
   操作要点：

   • 诉讼时效为知道行政机关不作为之日起6个月内（经复议的案件，自收到复议决定书之日起15日内）；
     
   • 需提交起诉状、身份证明、证据材料（如申请记录、催告记录等）；
     
   • 法院将审查行政机关不作为的合法性，并作出判决。

3. 向上级行政机关或监察机关投诉
   根据《中华人民共和国政府信息公开条例》第五十一条（若涉及政府信息公开申请未答复），您可向上级行政机关、监察机关或政府信息公开工作主管部门举报，要求其督促行政机关履行职责。
   操作要点：

   • 投诉需以书面形式提出，明确投诉事项、理由及请求；
     
   • 监察机关有权对行政机关不作为进行调查，并依规处理相关责任人。

4. 申请信访或督查
   若上述途径未获解决，您可通过信访渠道向行政机关的信访部门反映问题，或请求上级机关启动督查程序。但需注意，信访结果不具有强制执行力，通常作为辅助手段使用。
   操作要点：

   • 信访需遵循《信访工作条例》，提交书面材料并明确诉求；
     
   • 督查程序需由上级机关依职权启动，您可申请其介入调查。

建议行动顺序：

1. 优先通过书面形式催告行政机关履行职责（如发送律师函或书面申请），固定其未答复的证据；
   
2. 若催告无果，根据时效要求选择行政复议或行政诉讼；
   
3. 同步向监察机关或上级部门投诉，形成监督压力。
   

注意事项：

• 所有程序均需在法定时效内提出，逾期可能丧失救济权利；
  
• 证据固定是关键，需保留申请记录、邮寄凭证、催告记录等材料；
  
• 若涉及专业问题（如复议申请书撰写、诉讼策略），可直接向我咨询具体操作方案。