关于私人养殖一只绿头鸭是否违法及可能面临的刑事处罚，需分情况讨论：
若绿头鸭属于非国家重点保护野生动物，且养殖行为符合相关规定：
- 一般情况下，私人养殖非国家重点保护野生动物并不构成违法。但需注意，即使是非重点保护野生动物，其养殖也可能受到地方性法规或规章的限制，比如需要办理相关的养殖许可或登记手续。若未办理相关手续，可能会面临行政处罚，如罚款、没收违法所得等，但通常不会涉及刑事处罚。
若绿头鸭属于国家重点保护野生动物，且未取得合法养殖许可：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百四十一条的规定，非法猎捕、杀害国家重点保护的珍贵、濒危野生动物的，或者非法收购、运输、出售国家重点保护的珍贵、濒危野生动物及其制品的，处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；情节特别严重的，处十年以上有期徒刑，并处罚金或者没收财产。
- 对于养殖行为，虽然法律条文直接提及的是“猎捕、杀害、收购、运输、出售”，但养殖行为若未经许可，且涉及国家重点保护野生动物，很可能被视为非法行为的一部分，尤其是当养殖目的是为了出售或利用时。不过，具体是否构成犯罪以及刑罚的轻重，还需根据养殖的数量、目的、对野生动物资源的影响等因素综合判断。
- 就一只绿头鸭而言，如果确实属于国家重点保护野生动物，且未取得合法养殖许可，虽然数量较少，但仍可能因违反野生动物保护法规而面临行政处罚。若情节严重，如存在多次违法、拒不改正、造成恶劣影响等情形，也有可能被追究刑事责任，但通常刑罚会相对较轻，可能处于五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金的范围，具体还需根据案件具体情况由法院判定。
特殊情况考虑：
- 如果养殖的绿头鸭是人工繁育的子代，且该物种已列入人工繁育国家重点保护野生动物名录，那么养殖行为可能受到更宽松的监管。但即便如此，仍需遵守相关的养殖许可和登记制度。
- 另外，如果养殖行为是为了科学研究、人工繁育、公众展示展演等特定目的，且已获得相关部门的批准和许可，那么这种养殖行为是合法的。
法律建议：
- 在决定养殖绿头鸭之前，务必先了解清楚其是否属于国家重点保护野生动物，以及当地的养殖法规和政策。
- 如果绿头鸭属于国家重点保护野生动物，且希望进行养殖，应尽快向相关部门申请养殖许可，并遵守所有的养殖规定和要求。
- 如果已经养殖了绿头鸭且担心可能涉及违法问题，建议立即停止养殖行为，并咨询专业律师或野生动物保护部门，了解如何合法处理已养殖的野生动物。
总结：私人养殖一只绿头鸭是否违法及可能面临的刑事处罚，取决于绿头鸭是否属于国家重点保护野生动物以及养殖行为是否合法。在不确定的情况下，建议先咨询相关部门或专业律师，以确保自己的行为符合法律法规的要求。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。