核心结论：关于医疗期和停工留薪期的延长申请，建议优先由单位主动申请，但若单位未履行义务或存在争议，劳动者应主动申请并同步通过法律途径维权。具体需结合以下角度分析：

1. 单位申请的法定责任与优势

• 法定责任：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》及《工伤保险条例》，医疗期（非工伤）和停工留薪期（工伤）的延长均需单位根据劳动者实际病情或康复情况主动申请。单位若未履行申请义务，可能涉嫌违法。
• 优势：单位申请通常流程更顺畅，因其熟悉内部审批程序，且与社保部门、医疗机构沟通更高效，能更快获得延长确认。

2. 劳动者主动申请的必要性

• 单位不作为时：若单位拒绝申请或拖延，劳动者可自行向单位人力资源部门提交书面申请，并附医疗机构出具的病情证明、康复建议等材料，要求单位配合办理延长手续。
• 争议解决：若单位仍不配合，劳动者可向劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁，主张单位违法未延长期限，要求补发工资、赔偿损失等。

3. 关键操作步骤与证据留存

• 医疗期延长：
  1. 向单位提交书面申请，附三甲医院诊断证明、治疗记录等；
  2. 若单位拒绝，向劳动监察部门投诉（需保留投诉回执）；
  3. 同步申请劳动仲裁，主张单位支付医疗期满后的病假工资（通常为当地最低工资的80%）。
• 停工留薪期延长：
  1. 向单位提交工伤医疗机构出具的康复建议书；
  2. 若单位不认可，可向设区的市级劳动能力鉴定委员会申请确认延长；
  3. 保留所有医疗票据、沟通记录，作为仲裁或诉讼证据。

4. 风险提示与策略建议

• 单位拖延风险：若单位故意拖延申请，可能导致劳动者错过社保报销或工资发放时限，建议同步通过法律途径施压。
• 证据优先原则：无论单位或劳动者申请，均需以医疗机构出具的客观证据为准，避免主观陈述。
• 协商与诉讼结合：优先与单位协商，若协商无果，立即启动法律程序，避免时效问题（劳动仲裁时效为1年）。

总结：单位申请是法定义务，但劳动者需主动监督并保留证据；若单位不作为，劳动者应果断通过投诉、仲裁维权。具体操作中，建议根据病情严重程度、单位配合态度灵活选择策略，必要时可委托律师介入协助取证和谈判。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体流程。