核心结论：停工留薪期延长鉴定结果通过后，是否需要提交书面申请需分情况讨论，具体如下：

1. 若鉴定结果已明确延长停工留薪期时长，且用人单位无异议
   根据《工伤保险条例》第三十三条及地方实施细则（如《省工伤保险条例》），停工留薪期延长需以劳动能力鉴定委员会的书面鉴定结论为准。若鉴定结论已明确载明延长后的具体期限（如“延长3个月至2024年X月X日”），且用人单位未在收到结论后15日内提出异议或申请重新鉴定，则无需再提交书面申请，用人单位应按鉴定结论支付工资及福利待遇。

2. 若鉴定结果仅确认“符合延长条件”但未明确期限，或用人单位对结果有争议
   若鉴定结论表述模糊（如“同意延长，期限由用人单位与职工协商确定”），或用人单位以“程序瑕疵”“事实不清”等理由拒绝执行，则需补充提交书面申请。申请内容应包括：

   • 鉴定结论原件及复印件；
     
   • 延长停工留薪期的具体理由（如伤情未稳定、治疗未终结）；
     
   • 医疗机构出具的诊疗记录（如病历、康复计划）；
     
   • 用人单位拒绝执行的书面证据（如通知、聊天记录）。
     此时申请的作用是固定证据、明确诉求，避免后续纠纷。

3. 地方性法规的特殊要求
   部分地区（如北京、上海）规定，停工留薪期延长需同时向社保经办机构备案。例如，《市工伤保险实施办法》要求，用人单位需在收到鉴定结论后5个工作日内，持鉴定结论、延长申请表等材料至社保中心办理备案，否则可能影响工伤待遇发放。因此，建议先查询当地社保局官网或拨打12333确认流程。

实务建议：

• 无论是否需要申请，均应保留鉴定结论原件，并要求用人单位签收确认；
  
• 若用人单位拒不执行，可向劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁，主张按鉴定结论支付待遇；
  
• 停工留薪期最长不超过24个月，若超过该期限仍需休息，需按病假工资标准支付。
  

如有其他细节疑问（如鉴定流程、证据收集），可进一步向我说明具体情况，我会结合您所在省份的法规为您详细解答。