结论：公司处理未签试用期合同且未提前通知离职的情况，需分情况讨论，主要取决于公司规章制度是否合法有效以及员工行为是否给公司造成损失。以下是具体分析：

1. 若公司规章制度合法有效且员工知晓

   • 公司有权要求员工赔偿损失：根据《劳动合同法》第九十条，劳动者违反本法规定解除劳动合同，或者违反劳动合同中约定的保密义务或者竞业限制，给用人单位造成损失的，应当承担赔偿责任。若公司规章制度中明确规定了离职需提前通知的期限，且该制度经过民主程序制定、已公示或告知员工，员工未提前通知离职给公司造成损失的，公司可以要求员工赔偿。
   • 赔偿范围：赔偿范围通常限于公司因员工突然离职而遭受的实际损失，如招聘新员工的费用、因员工离职导致的业务中断损失等。公司需承担举证责任，证明损失的具体数额及与员工离职行为的因果关系。

2. 若公司规章制度不合法或员工不知晓

   • 公司难以要求员工赔偿：若公司规章制度未经过民主程序制定、未公示或告知员工，或者规章制度中关于离职需提前通知的规定违反法律法规的强制性规定（如规定过长的提前通知期），则该制度对员工不具有约束力。在此情况下，公司难以以员工未提前通知离职为由要求员工赔偿。
   • 公司仍可主张实际损失：尽管公司难以依据规章制度要求员工赔偿，但若公司能证明员工未提前通知离职给其造成了实际损失，且该损失与员工离职行为存在因果关系，公司仍可向员工主张赔偿。不过，此时公司的举证责任更重，需提供充分的证据证明损失的存在及数额。

3. 关于未签试用期合同的影响

   • 试用期应包含在劳动合同期内：根据《劳动合同法》第十九条，试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。因此，若公司未与员工签订书面劳动合同，但双方实际存在劳动关系，则试用期应视为劳动合同期限的一部分。
   • 公司可能面临双倍工资赔偿风险：若公司未与员工签订书面劳动合同，且自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，根据《劳动合同法》第八十二条，公司应当向劳动者每月支付二倍的工资。

建议：

• 对公司而言：应尽快与员工补签书面劳动合同，明确双方的权利义务；完善公司规章制度，确保制度经过民主程序制定、已公示或告知员工；加强员工离职管理，要求员工按照规定提前通知离职，并办理好工作交接手续。
• 对员工而言：即使未签订书面劳动合同，也应尽量提前通知公司离职，以体现职业素养和避免不必要的纠纷；若公司存在违法行为（如未签订书面劳动合同、未支付劳动报酬等），员工可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁维护自己的合法权益。