在这个情境中，责任归属取决于多个因素，包括美容院是否尽到了安全保障义务、小朋友及其监护人的行为以及是否存在第三方因素等。以下是对此问题的详细分析：
一、美容院的责任基础与安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，美容院作为经营场所，对进入其场所的顾客及其陪同人员（包括小朋友）负有安全保障义务。这意味着美容院必须采取必要的措施来确保顾客及其陪同人员在其经营场所内的安全，包括但不限于提供安全的设施、设置必要的警示标识、对潜在危险进行及时提醒等。
二、美容院可能承担责任的情形
美容院设施或管理问题导致小朋友受伤：
- 如果美容院的门存在设计缺陷或维护不当，如门缝过大、门闭合速度过快等，导致小朋友在推门时手被夹伤，美容院可能需要承担责任。
- 如果美容院未在门附近设置明显的警示标识，提醒顾客注意门的闭合，也可能被视为未尽到安全保障义务。
美容院未尽到安全保障义务：
- 如果美容院员工在小朋友进入时未给予足够的关注或提醒，导致小朋友在推门时受伤，美容院可能需要承担一定的责任。
- 如果美容院在发现门存在安全隐患后未及时采取措施进行修复或警示，也可能被视为未尽到安全保障义务。
三、美容院可能不承担责任的情形
小朋友及其监护人的过失：
- 如果小朋友在推门时未注意周围环境或过于用力，导致手被夹伤，且美容院已尽到合理的安全保障义务，那么小朋友及其监护人可能需要承担一定的责任。
- 如果小朋友的监护人未尽到监护职责，如让小朋友独自进入美容院或未给予足够的关注和提醒，也可能被视为存在过失。
第三方行为导致小朋友受伤：
- 如果小朋友的手被夹伤是由于其他顾客或第三方的故意或过失行为导致的，且美容院已尽到合理的安全保障义务，那么美容院可能不承担责任。
不可抗力因素：
- 如果小朋友的手被夹伤是由于自然灾害（如地震）等不可抗力因素导致的，且美容院无法预见也无法预防，那么美容院可能不承担责任。
四、责任认定与赔偿
在小朋友手被夹伤的情况下，责任认定需综合考虑事故发生的原因、双方过错程度等因素。如果美容院未尽到安全保障义务或存在过失，则可能需承担侵权责任，包括赔偿小朋友的医疗费用、护理费用以及因受伤导致的其他合理支出。具体赔偿金额需根据实际损失和法律规定确定。
五、建议措施
对于小朋友及其监护人：
- 在进入美容院等公共场所时，应注意观察周围环境，遵守场所内的安全规定和警示标识。
- 监护人应尽到监护职责，关注小朋友的行为和安全，避免发生意外。
对于美容院：
- 应加强场所内的安全管理，定期检查和维护相关设施，确保设施的安全性和可靠性。
- 对员工进行安全培训，提高服务意识和安全防范能力，及时提醒顾客注意潜在危险。
- 在发现安全隐患后应及时采取措施进行修复或警示，以避免类似事故的发生。
综上所述，到美容院里做脸推门进去的时候门不小心夹到了小朋友的手，责任归属取决于多个因素。如果美容院未尽到安全保障义务或存在过失，则可能需承担侵权责任；反之，则可能免责。如果遇到此类纠纷，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供专业的法律建议。