结论：当存款人已故且无法定继承人时，其存款的处理需依据《中华人民共和国民法典》的相关规定进行，主要分为存在遗嘱指定受遗赠人和无遗嘱且无法定继承人两种情况。同时，赡养人在此情况下并不直接享有存款的继承权，但可能因特定情况（如实际赡养行为）获得一定补偿或权益，具体需结合实际情况和法律规定来判断。
一、存在遗嘱指定受遗赠人的情况
遗嘱的效力：
- 如果存款人生前立有遗嘱，并指定了法定继承人以外的人作为受遗赠人，那么该遗嘱具有法律效力。
- 受遗赠人需在知道受遗赠后的六十日内，向银行明确表示接受遗赠，并提供遗嘱、本人身份证明等相关材料。
存款的支取：
- 经银行审核后，受遗赠人可按照遗嘱的安排支取存款。
- 在此情况下，赡养人并不直接享有存款的继承权，除非遗嘱中明确指定了赡养人为受遗赠人。
二、无遗嘱且无法定继承人的情况
存款的归属：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十条的规定，若存款无人继承又无人受遗赠，则归国家所有，用于公益事业。
- 若死者生前是集体所有制组织成员的，则归所在集体所有制组织所有。
赡养人的权益：
- 在此情况下，赡养人并不直接享有存款的继承权。
- 但如果赡养人实际对存款人进行了赡养，并支付了相关费用，可能在一定程度上获得补偿或权益。这通常需要通过法律程序来确认，如提起诉讼要求分割遗产或获得补偿等。不过，这种补偿或权益的获得并非直接基于继承权，而是基于实际赡养行为和法律规定。
处理流程：
- 银行在得知存款人死亡且可能无法定继承人或受遗赠人时，会暂停账户操作，并主动与当地公安机关、社区或民政部门等取得联系，说明情况。
- 这些部门将协助进行进一步的调查核实工作，确认存款人是否确实无法定继承人或受遗赠人。
- 确认后，由国家相关部门（如民政部门代表国家）或集体所有制组织按照法定程序，向银行提供证明材料（如确认无人继承受遗赠的法律文书等），办理存款支取手续。
三、特殊情况下的处理
- 如果存款人生前与赡养人之间存在特定的法律关系（如遗赠扶养协议），则赡养人可能根据协议享有特定的权益。遗赠扶养协议是遗赠人和扶养人之间关于扶养人承担遗赠人的生养死葬的义务，遗赠人的财产在其死后转归扶养人所有的协议。在这种情况下，赡养人需按照协议履行义务，并有权在存款人死后获得约定的财产。
四、建议与注意事项
及时咨询：
- 在处理此类问题时，建议赡养人及时咨询专业律师（即我本人），了解具体的法律程序和权益保障措施。
保留证据：
- 如果赡养人实际对存款人进行了赡养，并支付了相关费用，应保留好相关证据（如支付凭证、赡养协议等），以便在需要时证明自己的权益。
遵循法律程序：
- 在处理存款人的遗产时，应严格遵循相关法律法规和程序要求，确保合法合规。避免采取不当行为导致权益受损或面临法律责任。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。