结论：

1. 合同到期了没续签，劳动者可以继续上班，此时双方形成的是事实劳动关系，仍然受到法律保护。
2. 公司不可以直接辞退员工，除非存在法定解除劳动合同的情形，否则公司辞退员工可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。

详细分析：

一、合同到期未续签，劳动者继续上班的法律性质

当劳动合同到期后，如果用人单位未与劳动者续签合同，但劳动者仍在原单位工作，根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，双方形成的是事实劳动关系。这种关系虽然缺乏书面合同的形式，但仍然受到法律保护，劳动者享有与签订书面劳动合同时相同的权益。

二、公司是否可以直接辞退员工

1. 法定解除情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者存在严重失职、营私舞弊等过错行为，或者被依法追究刑事责任等情形的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；或者劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。

2. 非法定解除情形：

   • 如果不存在上述法定解除劳动合同的情形，公司直接辞退员工可能构成违法解除。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。

三、劳动者的权益保护

1. 继续工作的权利：

   • 劳动者在合同到期未续签的情况下，有权继续在原单位工作，并享受与签订书面劳动合同时相同的权益。

2. 辞职的权利：

   • 劳动者仍然享有辞职的权利。根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。这一权利在事实劳动关系中同样适用。

3. 经济补偿的权利：

   • 如果公司违法解除劳动合同，劳动者有权要求公司支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常按照劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

四、建议与注意事项

1. 保留证据：

   • 劳动者应保留好与用人单位的劳动关系证明，如工资条、工作证、考勤记录等，以备不时之需。

2. 及时沟通：

   • 如果劳动者希望继续工作，建议与用人单位及时沟通，明确双方的权利和义务，避免产生不必要的纠纷。

3. 寻求法律帮助：

   • 如果劳动者遇到公司违法解除劳动合同等情形，建议及时寻求法律帮助，维护自己的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。