结论前置：工作四年未签劳动合同，劳动者在特定条件下有权要求用人单位支付双倍工资、经济补偿金或赔偿金，并补缴社会保险。具体赔偿金额和方式需根据实际情况确定，且受一年仲裁时效限制。
一、双倍工资的支付
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
赔偿计算与分析：
- 从入职第二个月起至满一年这11个月，用人单位应支付双倍工资。但需注意，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，工作四年的情况下，第一年的双倍工资部分可能已超过仲裁时效，除非有仲裁时效中断、中止等法定情形。
- 计算公式：若劳动者月平均工资为X元，则这11个月应额外支付的工资为\(11X\)元（但需考虑仲裁时效问题）。
二、视为已订立无固定期限劳动合同及其影响
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第三款，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
分析：
- 自用工满一年后，虽然法律上视为双方已经订立了无固定期限劳动合同，但并无额外赔偿。
- 用人单位不能随意解除劳动合同，若违法解除，劳动者有权要求赔偿金。
三、解除劳动关系的经济补偿金与赔偿金
经济补偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 适用情况：若劳动者以单位未签劳动合同为理由解除劳动关系，可以要求单位支付四个月工资的经济补偿金。
- 计算公式：若劳动者月平均工资为X元，则经济补偿金为\(4X\)元。
赔偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 赔偿计算：工作四年，若用人单位违法解除劳动合同，劳动者可主张8个月工资作为赔偿金。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 计算公式：若劳动者月平均工资为X元，则赔偿金为\(8X\)元。
四、社会保险的补缴
法律依据：《社会保险法》规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。
具体操作：用人单位应为劳动者补缴四年期间的社会保险，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险（针对女职工）。补缴金额依据当地社会保险缴费基数和缴费比例确定。
五、其他可能的赔偿
如果因未签劳动合同导致劳动者在工伤、医疗等待遇方面遭受损失，用人单位也应依法承担赔偿责任。
六、维权建议
- 收集证据：劳动者应收集能证明劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、银行流水、聊天记录截图、同事证言等。
- 协商处理：首先尝试与用人单位协商处理赔偿事宜，通过沟通达成和解是最高效的方式。
- 申请仲裁或诉讼：若协商无果，劳动者可向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自身合法权益。对仲裁裁决不服的，还可以依法向人民法院提起诉讼。
总结：工作四年未签劳动合同的情况下，劳动者应了解自身权益和维权途径，依法要求用人单位支付相应的赔偿，并补缴社会保险。在维权过程中，注意收集证据并遵循法律程序是至关重要的。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。