核心结论：劳动合同快到期时手受伤，需根据受伤性质（是否属于工伤）、劳动合同期限状态以及伤情恢复情况来综合处理，以下是具体分析：
判断是否构成工伤
- 若因工作原因受伤：根据《工伤保险条例》第十四条，在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。此时，您应立即向用人单位报告受伤情况，并要求用人单位在30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。若用人单位未及时申请，您或您的近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。
- 若非工作原因受伤：如因个人原因（如上下班途中非本人主要责任的交通事故等特殊情形外的其他情况）受伤，则不构成工伤，需按普通人身伤害处理，此时主要涉及医疗费、误工费等民事赔偿问题，可依据《民法典》侵权责任编与责任方协商或通过诉讼解决。
劳动合同到期处理
- 工伤情形下：根据《劳动合同法》第四十五条，劳动合同期满，但您处于工伤医疗期内的，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。即，若您因工伤需要暂停工作接受医疗，劳动合同期限自动顺延至医疗期结束。医疗期结束后，若您仍不能从事原工作或用人单位另行安排的工作，用人单位可依法解除劳动合同，但需支付经济补偿金及一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金（具体标准按当地规定执行）。
- 非工伤情形下：若不构成工伤，劳动合同到期原则上自然终止。但若您因受伤需要治疗且无法立即寻找新工作，可尝试与用人单位协商续签短期劳动合同或签订以完成一定工作任务为期限的劳动合同，以保障治疗期间的权益。若协商不成，用人单位有权不续签，但需支付经济补偿金（若您无过错且用人单位不续签）。
伤情恢复与权益保障
- 及时治疗与鉴定：无论是否构成工伤，均应优先治疗。若构成工伤，治疗终结后需向设区的市级劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定，以确定伤残等级，这是后续享受工伤保险待遇的依据。
- 保留证据：保留所有与受伤、治疗相关的证据（如医疗记录、费用单据、工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论等），以便在后续维权时使用。
- 协商与诉讼：若与用人单位在劳动合同续延、工伤待遇支付等方面产生争议，可先尝试协商解决；协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁裁决不服的，可向人民法院提起诉讼。
总结建议：首先明确受伤是否属于工伤，若属于则按工伤程序处理，劳动合同自动顺延；若不属于，则按普通人身伤害处理，并关注劳动合同到期后的权益保障。无论哪种情况，均建议及时治疗、保留证据，并在必要时寻求法律帮助以维护自身权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。