在劳动能力鉴定期间若与别的单位建立劳动关系，可能会面临以下法律后果及处理方式，需分情况讨论：

1. 若原单位未解除劳动合同，新建立劳动关系可能构成双重劳动关系
   根据《劳动合同法》及相关司法解释，劳动者一般只能与一个用人单位建立全日制劳动关系。若原单位未依法解除或终止劳动合同（如未出具书面解除通知、未办理离职手续），此时与新单位建立劳动关系可能被认定为违法。

   • 法律后果：原单位可依据《劳动合同法》第39条，以“劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正”为由解除劳动合同，且无需支付经济补偿；若因此给原单位造成损失，劳动者还需承担赔偿责任。
     
   • 处理建议：
     
     • 立即与原单位沟通，明确劳动关系状态（是否已解除、是否需办理离职手续）；
       
     • 若原单位未解除合同，应优先处理原劳动关系（如协商解除、申请劳动仲裁确认解除），再与新单位建立关系；
       
     • 若需保留新劳动关系，可与原单位协商停薪留职、非全日制用工等灵活方式，避免法律风险。

2. 若原单位已解除劳动合同，新建立劳动关系需注意工伤衔接问题
   若原单位已依法解除劳动合同（如因合同到期、劳动者主动辞职等），劳动者在劳动能力鉴定期间与新单位建立劳动关系，需关注工伤待遇的衔接：

   • 工伤认定与待遇：根据《工伤保险条例》，劳动能力鉴定是确定工伤待遇（如伤残津贴、一次性医疗补助金等）的依据。若鉴定结论未出具前已与新单位建立劳动关系，可能影响原单位工伤待遇的申领（如原单位可能以“劳动关系已转移”为由拒绝支付）。
     
   • 处理建议：
     
     • 在与新单位建立劳动关系前，确保已从原单位领取全部工伤待遇（如一次性伤残就业补助金）；
       
     • 若鉴定结论未出具，可与新单位协商暂缓签订劳动合同或明确约定“待工伤鉴定完成后正式入职”，避免因劳动关系转移导致待遇落空；
       
     • 若新单位同意，可由新单位继续缴纳工伤保险，确保鉴定期间及后续待遇的连续性。

3. 若新单位明知劳动者处于劳动能力鉴定期间仍建立劳动关系，可能承担连带责任
   若新单位在明知劳动者与原单位未解除劳动关系、或处于工伤鉴定期间的情况下，仍与其建立劳动关系，可能面临以下风险：

   • 行政处罚：劳动行政部门可依据《劳动合同法》第91条，责令新单位支付劳动者报酬、经济补偿等；
     
   • 民事赔偿：若因新单位行为导致原单位损失（如劳动者未完成原单位工作），新单位可能需与劳动者承担连带赔偿责任。
     
   • 处理建议：新单位应在入职前要求劳动者提供原单位离职证明、工伤认定结论等材料，避免因信息不对称引发风险。

总结与行动建议：
劳动能力鉴定期间建立新劳动关系需谨慎，核心原则是“先解除原关系，再建立新关系”。若已建立，建议：

1. 立即梳理原劳动关系状态（是否解除、工伤待遇是否申领）；
   
2. 与新单位协商入职时间或劳动关系性质（如非全日制、劳务关系）；
   
3. 保留与原单位沟通的书面证据（如解除通知、协商记录），以备争议时使用。
   

如有具体案件细节（如原单位是否解除合同、工伤等级等），可进一步向我咨询，我会结合实际情况提供更精准的建议。