核心结论：针对您描述的情况，需分情形判断处理方式，主要取决于新合同的生效时间、双方约定及实际履行情况。以下是具体分析：

1. 若新合同已生效（覆盖原合同）

• 法律效果：根据《民法典》第543条，合同变更需双方协商一致。若新合同明确约定“自签署之日起生效”或“取代原合同”，则原合同自动终止，双方权利义务以新合同为准。
• 处理方式：
  • 对方不续签：若新合同已生效但对方单方提出不续签，需审查新合同是否约定了期限或终止条件。若无合法理由（如违约、不可抗力等），对方可能构成违约，您可要求其继续履行或赔偿损失（如预期利益损失）。
  • 证据留存：保存新合同文本、沟通记录（如邮件、微信）等，证明对方违约事实。

2. 若新合同未生效（如约定“原合同到期后生效”）

• 法律效果：原合同仍有效，新合同处于待生效状态。此时对方提出不续签，可能涉及原合同的续签问题。
• 处理方式：
  • 原合同条款：检查原合同是否约定了“自动续期”或“到期前需书面通知不续签”。若有类似条款，对方未按规定通知的，原合同可能视为续期，您可主张对方继续履行。
  • 协商解决：若原合同无明确约定，建议与对方协商，争取达成补充协议（如短期续约、支付补偿金等）。

3. 若新合同与原合同并存（如补充协议）

• 法律效果：若新合同仅对原合同部分条款进行修改（如薪资、岗位），其余条款仍按原合同执行，则需区分处理：
  • 修改部分：以新合同为准；
  • 未修改部分：仍按原合同执行。
• 处理方式：对方不续签时，需明确其拒绝履行的是原合同还是新合同修改部分。若涉及原合同核心条款（如期限），可能构成根本违约，您可解除合同并要求赔偿。

行动建议

1. 审查合同文本：重点查看新合同关于生效时间、期限、终止条件的约定；
2. 固定证据：保存所有书面沟通记录、合同原件等；
3. 发送书面函件：若对方无正当理由拒不续签，可委托律师发送《律师函》督促履行或主张权利；
4. 协商或诉讼：根据对方态度，选择继续协商或直接向法院起诉（注意诉讼时效为3年）。

提示：合同纠纷处理需结合具体条款和履行情况，建议提供合同关键条款（如期限、终止条件）及沟通记录，以便进一步分析。如有疑问，可直接向我咨询。