结论：酒后和对方互骂且对方先动手的情况下，您方是否构成寻衅滋事罪，需根据具体情况综合判断，不能一概而论。以下从不同角度为您详细分析：
一、不构成寻衅滋事罪的情形
情节轻微且未造成严重后果
- 若互骂行为仅偶尔发生，双方情绪虽激动但未造成实质性的精神或身体伤害，也未引起较大的社会影响，比如朋友间酒后因琐事发生口角，事后互相谅解，此类情况通常不被认定为寻衅滋事。这主要属于一般的治安问题，可能会受到警告、罚款等轻微的行政处罚，或者要求赔礼道歉、赔偿损失。
- 举例：您和对方在酒桌上因对某件事看法不同而发生争吵，双方只是言语上有些激烈，但没有动手打人，也没有对周围环境造成混乱，这种情况下一般不构成寻衅滋事罪。
存在特定矛盾或纠纷
- 当互骂行为是基于双方存在的特定民事纠纷或个人矛盾而引发时，如经济纠纷、邻里争执等，且行为并未超出这些纠纷的范畴，一般也不宜被认定为寻衅滋事。此时，该行为更倾向于被视为民事纠纷的一部分，应通过民事途径解决。
- 举例：您和对方之前存在债务纠纷，酒后双方因此事发生争吵，这种争吵是基于特定的矛盾产生的，如果没有其他恶劣情节，通常不构成寻衅滋事罪。
二、可能构成寻衅滋事罪的情形
随意辱骂他人，情节恶劣
- 寻衅滋事罪中的“寻衅滋事”行为具有随意性、挑衅性。若您方在酒后无缘无故地对对方进行肆意辱骂，且该行为达到了情节恶劣的程度，如导致对方精神严重受损、身体不适或其他严重后果，或者引起周围群众的恐慌和混乱，影响了社会秩序，则此类行为很可能被认定为寻衅滋事。
- 举例：您在酒后无故对对方进行长时间的辱骂，使用极其恶劣的语言，导致对方精神崩溃，或者引起周围大量群众围观，造成公共场所秩序混乱，这种情况下可能构成寻衅滋事罪。
多次辱骂他人，严重扰乱社会秩序
- 即使每次辱骂行为单独看似乎并不严重，但若您方多次在酒后实施辱骂他人的行为，且经相关部门多次教育、处罚后仍不思悔改，屡教屡犯，这种行为不仅严重扰乱了受害者的正常生活，也破坏了当地的社会秩序。在此情况下，该行为也很可能被认定为寻衅滋事，并面临更严厉的处罚。
- 举例：您多次在酒后到对方家中或工作单位进行辱骂，经警方多次警告和处罚后仍不停止，这种行为严重扰乱了对方的生活和社会秩序，可能构成寻衅滋事罪。
三、对方先动手对您方行为性质的影响
- 对方先动手并不意味着您方的行为就一定不构成寻衅滋事罪。如果您方在对方先动手后，采取了过度的报复行为，如使用暴力手段对对方进行殴打，且情节恶劣，仍然可能构成寻衅滋事罪或其他犯罪。
- 举例：对方先动手打了您一拳，您随即拿起身边的物品对对方进行猛烈攻击，导致对方受伤严重，这种情况下您方的行为可能构成寻衅滋事罪或故意伤害罪。
四、法律建议
- 保持冷静：在酒后遇到冲突时，尽量保持冷静，避免与对方发生进一步的争吵和肢体冲突。
- 及时报警：如果对方先动手或者冲突有升级的趋势，应及时报警，让警方来处理纠纷。
- 收集证据：如果可能的话，尽量收集相关的证据，如现场的监控录像、目击者的证言等，以便在后续的法律程序中维护自己的合法权益。
最后，酒后和对方互骂且对方先动手的情况下，您方是否构成寻衅滋事罪需根据具体情况综合判断。如果您对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。