结论：在法律上，不存在“断绝父子关系”这一说法，因此无论是否有所谓的“断绝父子关系”的声明或行为，儿子被判死刑这一事实，仍然与父亲存在法律上的父子关系。

分析：

1. 法律上的父子关系：

   • 父子关系是基于出生这一法律事实而自然形成的，它受到法律的保护，并且不能通过个人的声明或行为来随意断绝。
   • 在法律上，没有“断绝父子关系”的程序或规定。即使双方签署了某种形式的“断绝关系”协议，这种协议在法律上也是无效的，因为它违反了公序良俗和法律的基本原则。

2. 儿子被判死刑与父亲的关系：

   • 儿子被判死刑，这是对其犯罪行为的法律制裁，与父子关系本身无关。
   • 即使儿子被判死刑，他仍然是父亲的儿子，父亲仍然是他的父亲。这种关系不会因为儿子的犯罪行为或法律制裁而改变。

3. 法律后果与责任：

   • 儿子被判死刑，其刑事责任由其本人承担，不会因其与父亲的关系而转移或减轻。
   • 父亲作为儿子的直系亲属，可能会受到一定的社会影响或心理压力，但在法律上，他不需要为儿子的犯罪行为承担任何责任。

4. 特殊情况下的考虑：

   • 如果儿子在犯罪时未成年，且父亲作为监护人未尽到监护责任，那么父亲可能会在一定程度上承担法律责任。但这与“断绝父子关系”无关，而是基于监护责任的法律规定。
   • 如果儿子在犯罪后死亡（包括被判死刑执行），其遗产的继承等问题将按照法律规定的继承顺序和程序进行，父亲作为直系亲属有权参与继承。

建议：

• 父子关系是法律上不可随意断绝的关系，双方应珍惜并维护这种关系。
• 如果儿子涉及犯罪行为，父亲应积极配合司法机关的工作，同时给予儿子必要的法律帮助和心理支持。
• 如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。