结论：老人的房子翻新后，其中一个儿子登记在自己名下是否合法，这取决于多种因素，包括老人的意愿、房产的原始归属、以及是否存在有效的法律文件来支持这一登记行为。以下从不同角度进行分析：

1. 如果老人明确表示同意：

   • 法律背景：根据《民法典》的相关规定，财产所有人有权对其财产进行处分，包括赠与、转让等。如果老人明确表示同意将翻新后的房产登记在其中一个儿子名下，并且这一意愿通过合法有效的法律文件（如赠与合同、遗嘱等）得到确认，那么这一行为是合法的。
   • 建议：为了确保合法性和避免后续纠纷，建议老人与儿子之间签订书面的赠与合同，并办理房产过户手续，将房产正式登记在儿子名下。

2. 如果老人未明确表示同意或存在争议：

   • 法律背景：在没有老人明确同意的情况下，将房产登记在其中一个儿子名下可能构成无权处分。如果其他子女或老人本人对此提出异议，可能引发家庭财产纠纷。此外，如果翻新房产的资金来源于老人或其他子女的共同出资，那么房产的归属问题将更加复杂。
   • 可能后果：如果发生纠纷，法院可能会根据实际情况判断房产的归属，包括考虑出资情况、老人的意愿、家庭贡献等因素。如果认定登记行为无效，房产可能会被恢复至原始状态或按照法院判决进行重新分配。
   • 建议：在存在争议或不确定的情况下，建议家庭成员之间先进行协商，寻求共识。如果协商无果，可以寻求法律途径解决，如通过调解、诉讼等方式来明确房产的归属。

3. 特殊情况考虑：

   • 如果老人已经丧失民事行为能力：在这种情况下，需要由老人的法定代理人（如配偶、子女等）代为处理房产事宜。如果其中一个儿子未经法定代理人同意擅自将房产登记在自己名下，这一行为可能是无效的。
   • 如果存在欺诈、胁迫等情形：如果儿子通过欺诈、胁迫等手段迫使老人同意将房产登记在自己名下，这一行为也是违法的，老人或其他子女有权要求撤销登记并恢复房产的原始状态。

进一步思考：在处理此类家庭财产纠纷时，除了考虑法律因素外，还应注重家庭关系的维护和和谐。家庭成员之间应该通过沟通、协商等方式来解决问题，避免因为财产纠纷而破坏家庭关系。如果确实无法协商解决，再寻求法律途径来维护自己的合法权益。

总结：老人的房子翻新后，其中一个儿子登记在自己名下是否合法，取决于老人的意愿、房产的原始归属以及是否存在有效的法律文件来支持这一登记行为。在处理此类问题时，建议家庭成员之间先进行协商，并咨询专业律师的意见，以确保合法性和避免后续纠纷。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。