结论前置：

1. 若公司提出协商续签但协商不成，后公司发出续签合同而员工不签，一般情况下公司无需支付赔偿金，但需满足一定条件，即公司提供的续签合同条件未降低。
2. 若公司降低续签合同条件导致员工不签，则公司应支付经济补偿金，具体金额依据员工在公司的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资来确定。

详细分析：

一、公司无需支付赔偿金的情况

在劳动合同第二次到期时，公司提出协商续签，但双方未能就续签条件达成一致。随后，公司发出了续签合同，且续签合同的条件未低于原合同条件，此时员工选择不签。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，在这种情况下，公司无需支付赔偿金。因为公司已经履行了续签合同的义务，且续签条件未降低，员工拒绝续签属于个人选择，公司无需承担法律责任。

二、公司需支付经济补偿金的情况

若公司在续签合同时降低了原合同条件，如降低工资、减少福利待遇、变更工作岗位等，导致员工不愿续签，则公司应支付经济补偿金。经济补偿金的计算依据如下：

• 计算标准：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

• 月工资定义：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

计算公式：

• 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或当地上年度职工月平均工资的三倍，以较低者为准，且最高不超过十二年）

示例：

• 假设员工在公司工作了5年，劳动合同终止前十二个月的平均工资为8000元，当地上年度职工月平均工资为6000元。因公司降低续签条件导致员工不签，则公司应支付的经济补偿金为：5年 × 8000元/年 = 40000元。
• 若员工月工资为20000元，高于当地上年度职工月平均工资的三倍（18000元），则经济补偿金按18000元计算，且最高不超过十二年。若员工工作了10年，则经济补偿金为：12年（最高年限）× 18000元/年 = 216000元（但实际支付可能因具体年限和工资情况有所调整，此处为示例说明）。

三、维权建议

• 保留证据：员工应保留好与公司的沟通记录、续签合同草案、原劳动合同、工资单等证据，以证明公司降低续签条件的事实。
• 协商解决：首先尝试与公司进行协商，寻求合理的解决方案。
• 申请劳动仲裁：若协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付经济补偿金。
• 提起诉讼：对仲裁裁决结果不满意的，员工可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

总结：在劳动合同第二次到期时，若公司提出协商续签但协商不成，后公司发出续签合同而员工不签，公司是否需支付赔偿金取决于续签合同的条件是否降低。若条件未降低，公司无需支付；若条件降低，公司应支付经济补偿金。员工在遇到此类情况时，应保留好相关证据，并通过协商、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。