结论前置：

1. 一般情况下，公司第二次合同到期不续签，应支付经济补偿金。
2. 若存在特定情形，如公司应签订无固定期限劳动合同而未签订，或违法解除劳动合同，劳动者可能要求双倍赔偿。

详细分析：

一、一般情况下经济补偿金的支付

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动合同第二次到期，若公司选择不续签，且不存在劳动者严重违反用人单位规章制度等特定情形时，公司应向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的计算依据劳动者在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资来确定。

• 计算标准：
  • 每满一年支付一个月工资；
  • 六个月以上不满一年的，按一年计算并支付一个月工资；
  • 不满六个月的，支付半个月工资。
  • 若劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

例子：假设劳动者在公司工作了5年6个月，劳动合同终止前十二个月的平均工资为8000元，且当地上年度职工月平均工资为6000元（未超过三倍），则公司应支付的经济补偿金为：5.5年 * 8000元/年 = 44000元。

二、特定情形下的双倍赔偿

1. 应签订无固定期限劳动合同而未签订：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，在连续订立二次固定期限劳动合同后，且劳动者没有特定违规情形（如严重违反用人单位的规章制度等），若劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
   • 若公司违反此规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起需向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 违法解除劳动合同：

   • 虽然本问题主要讨论的是合同到期不续签的情况，但值得注意的是，如果用人单位在劳动合同期满后，未按照法律规定提前通知劳动者或未依法支付经济补偿金，就可能构成违法解除劳动合同。
   • 在这种情况下，劳动者可以要求用人单位支付双倍的赔偿金，即赔偿金为经济补偿金的两倍。

三、维权建议

• 沟通协商：劳动者在遇到合同到期不续签的情况时，应首先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和意图。
• 保留证据：为确保维权成功，劳动者应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明自己的工作年限和工资水平。
• 寻求帮助：若双方无法达成一致，劳动者可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁或提起诉讼时，应提交相关证据和申请书，明确自己的诉求和理由。

总结与建议：

公司第二次合同到期不续签时，一般情况下应支付经济补偿金。但在特定情形下，如公司应签订无固定期限劳动合同而未签订，或违法解除劳动合同，劳动者可能要求双倍赔偿。因此，劳动者在遇到此类问题时，应了解自己的权益和应获得的补偿金额，并及时与公司沟通协商或寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。