当您的劳动合同第二次到期，而公司选择不续签时，关于赔偿的问题，这主要涉及到《劳动合同法》的相关规定。以下是我为您详细梳理的赔偿流程和相关要点：

一、经济补偿的支付条件

根据《劳动合同法》，当二次固定期限劳动合同到期后，除非公司维持或提高劳动合同条件续订而您不同意，否则公司在终止劳动合同时应向您支付经济补偿。这意味着，如果公司没有合理的理由不续签，或者降低了续签条件导致您不愿续签，您都有权要求经济补偿。

二、经济补偿的计算标准

经济补偿的计算主要依据您在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资。具体来说：

1. 每满一年工作，公司应支付一个月工资作为补偿。
2. 如果工作六个月以上但不满一年，也按一年计算，支付一个月工资。
3. 如果工作不满六个月，则支付半个月工资作为补偿。

这里的“月工资”是指您在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿的标准将按职工月平均工资的三倍来支付，但支付年限最高不超过十二年。

三、特定情形下的免责

需要注意的是，如果存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如您严重违反公司规章制度、被依法追究刑事责任等，导致公司决定不续签劳动合同的，公司则无需支付经济补偿。

四、维权建议

1. 与公司协商：首先，您可以尝试与公司进行沟通协商，明确表达您的诉求和依据，看是否能达成一致意见。
2. 收集证据：为了确保维权成功，您应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、与公司沟通的邮件或聊天记录等。
3. 寻求劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据和仲裁申请书，要求公司支付经济补偿。
4. 提起诉讼：如果对仲裁结果不满意，您还可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径来维护自己的合法权益。

五、无固定期限劳动合同的订立

此外，根据《劳动合同法》的规定，在连续订立二次固定期限劳动合同后，如果您没有严重违反公司规章制度等情形，且您提出或同意续订、订立劳动合同的，除您提出订立固定期限劳动合同外，公司应当与您订立无固定期限劳动合同。如果公司违反此规定不与您订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起，公司还需向您每月支付二倍的工资。

综上所述，当您的劳动合同第二次到期而公司不续签时，您有权根据相关法律法规要求公司支付经济补偿。在处理此类问题时，建议您保持冷静理性，充分了解相关法律法规，并保留好相关证据以维护自己的合法权益。如有需要，您也可以咨询专业律师以获取更具体的建议和帮助。