当您的劳动合同第一次到期，而公司提出不续签时，关于赔偿的问题，这主要取决于具体的合同条款、双方的行为以及相关法律法规的规定。以下是对此问题的详细解答：
一、经济补偿金的基本支付原则
公司不愿续签的情况：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果公司不愿续签劳动合同，那么它需要按照您在本单位的工作年限来支付经济补偿金。具体标准是：每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
您不愿续签的情况：
- 如果公司愿意维持或提高劳动合同的约定条件来续签，但您不同意，那么公司无需支付经济补偿金。
- 但是，如果公司降低了劳动合同的约定条件，导致您不同意续订，那么公司仍然需要支付经济补偿金。
二、月工资的计算方式
- 月工资是指您在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，这包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。
- 如果您的平均工资低于当地最低工资标准，那么将按照最低工资标准来计算。
- 如果您工作不满12个月，那么将按照您实际工作的月数来计算平均工资。
三、支付年限与上限的特殊情况
- 如果您的月工资高于所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿金的标准将按照职工月平均工资三倍的数额来支付，并且支付年限最高不超过十二年。
四、支付时间与法律责任
- 公司应在解除或终止劳动合同时，为您出具证明，并在十五日内为您办理档案和社会保险关系转移手续。同时，公司需要支付经济补偿金。
- 如果公司违反规定不支付经济补偿金，您可以向劳动行政部门投诉。劳动行政部门将责令公司限期支付；如果逾期不支付，公司还需要按照应付金额的百分之五十以上百分之一百以下的标准向您加付赔偿金。您也可以直接申请劳动仲裁来维护自己的权益。
五、特殊情况下的赔偿
- 如果您在病假期间合同到期，且仍处于法定医疗期内，公司不续签将属于违法解除劳动合同，应支付赔偿金（即经济补偿的二倍）。
- 如果您在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力，劳动合同到期也不能终止，应按国家有关工伤保险的规定执行。
总结与建议：
在处理劳动合同到期不续签的经济补偿金问题时，建议您首先与公司进行协商，明确双方的权利和义务。如果协商不成，您可以咨询专业律师或法律机构，以获取准确的法律意见和帮助。同时，请务必妥善保管好与劳动合同相关的所有证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以备不时之需。在面对此类问题时，保持冷静、理性应对，通过合法途径寻求解决方案是最佳选择。