结论：公司签署劳动合同到期后提出终止劳动合同，是否需要支付N+1的赔偿，需根据具体情况判断，一般情况下无需支付N+1，但若符合法定情形需支付经济补偿N，若违法终止则需支付赔偿金2N。以下从不同角度详细分析：

一、劳动合同到期终止的法定情形及经济补偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条及第四十六条的规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。但有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：

1. 用人单位维持或提高条件续订，劳动者不同意：若用人单位愿意维持或提高原劳动合同约定的条件与劳动者续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，劳动合同终止，用人单位无需支付经济补偿。
2. 用人单位降低条件续订或拒绝续订：若用人单位降低原劳动合同约定的条件与劳动者续订劳动合同，或者用人单位不同意续订劳动合同的，劳动合同终止，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。

经济补偿的计算标准：

• 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
• 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
• 劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
• 计算公式：\(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\)（月工资有上限规定的按上限计算）。

二、N+1赔偿的适用情形

N+1赔偿并非法律直接规定的赔偿标准，而是实践中对特定情形下用人单位需额外支付一个月工资（即“+1”）作为代通知金的一种俗称。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：

1. 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
2. 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
3. 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。

关键点：N+1赔偿中的“+1”仅适用于上述用人单位单方解除劳动合同且未提前三十日书面通知劳动者的情形。劳动合同到期终止并不属于上述情形，因此一般情况下无需支付N+1赔偿。

三、违法终止劳动合同的赔偿

若用人单位在劳动合同到期后，无正当理由拒绝续订劳动合同或者违法终止劳动合同的，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

计算公式：\(赔偿金 = 2 \times 经济补偿 = 2 \times 工作年限 \times 月工资\)（月工资有上限规定的按上限计算）。

四、建议

1. 劳动者：若劳动合同到期后公司提出终止，可要求公司说明理由并出示相关证据。若认为公司行为违法或应支付经济补偿而未支付，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
2. 用人单位：在劳动合同到期前，应评估是否续订劳动合同。若决定不续订，应依法支付经济补偿（如适用），避免违法终止劳动合同导致支付赔偿金。

总结：劳动合同到期终止是否需支付N+1赔偿，需根据具体情况判断。一般情况下无需支付N+1，但若符合法定情形需支付经济补偿N，若违法终止则需支付赔偿金2N。如有进一步疑问或需具体法律帮助，可直接向我咨询。