在超市买到不新鲜的蛋糕，消费者有权要求赔偿，具体赔偿方式需根据实际情况分情况讨论：

1. 若蛋糕仅不新鲜但未造成人身损害
   根据《消费者权益保护法》第二十四条，超市作为经营者，提供的商品应当符合质量要求。若蛋糕存在不新鲜问题（如过期、变质但未食用），消费者可要求超市退货、换货或修理，并可主张超市承担运输等必要费用。
   操作建议：立即保留购物小票、蛋糕实物（拍照或录像）作为证据，与超市协商解决；若协商无果，可向当地市场监督管理部门投诉或通过12315平台维权。

2. 若蛋糕不新鲜且导致人身损害（如食用后腹泻、呕吐）
   根据《消费者权益保护法》第四十九条及《食品安全法》第一百四十八条，消费者除可要求赔偿损失（如医疗费、误工费）外，还可向超市主张价款十倍或损失三倍的惩罚性赔偿；若赔偿金额不足1000元，按1000元计算。
   操作建议：

   • 立即就医并保存病历、诊断证明、医疗费票据；
     
   • 留存蛋糕实物、购物小票及食用记录（如监控录像、证人证言）；
     
   • 要求超市陪同就医或书面确认问题；
     
   • 若超市拒绝赔偿，可向法院起诉或通过消费者协会调解。

3. 若超市存在故意欺诈（如篡改生产日期）
   根据《消费者权益保护法》第五十五条，消费者可主张购买商品价款三倍的赔偿；若赔偿金额不足500元，按500元计算。
   关键证据：需证明超市存在主观故意（如多次被投诉、篡改标签的直接证据）。

注意事项：

• 赔偿前提是消费者能证明蛋糕不新鲜与超市的因果关系（如未拆封、未污染）；
  
• 若超市已尽到审查义务（如定期检查、标注保质期），可能减轻或免除责任；
  
• 建议优先通过协商、投诉解决，效率更高；若涉及人身损害或金额较大，可委托律师介入。
  

如有进一步证据或细节需要分析，可直接向我咨询。