房东可以采取以下措施来应对租房人支付两个月房租但一直不签合同的情况：

1. 主动沟通，明确租赁意向
   首先，房东应主动与租房人进行沟通，了解其不签订合同的具体原因。可能是租房人对合同条款有异议，或是对租赁期限、租金支付方式等存在疑虑。通过友好协商，双方可以就合同条款达成一致，并尽快签订书面租赁合同，以明确双方的权利和义务。

2. 发送书面通知，要求签订合同
   如果沟通无果，房东可以向租房人发送书面通知，明确要求其在一定期限内（如7天或15天）签订书面租赁合同。通知中应详细说明租赁房屋的基本情况、租金、租赁期限、支付方式等关键条款，并告知租房人若逾期未签订合同，房东将有权采取进一步措施，包括但不限于解除租赁关系、收回房屋等。

3. 考虑解除租赁关系，收回房屋
   若租房人在收到书面通知后仍拒绝签订合同，房东有权考虑解除与租房人的租赁关系，并收回房屋。在此过程中，房东应注意保留相关证据，如书面通知、沟通记录等，以证明其已尽到合理通知义务。同时，房东应确保在解除租赁关系时，按照法律规定和双方约定处理租房人已支付的租金及押金等事宜，避免引发不必要的纠纷。

4. 寻求法律途径解决争议
   如果双方无法就租赁关系达成一致，且租房人拒绝搬离房屋，房东可以向当地人民法院提起诉讼，要求确认租赁关系无效或解除租赁关系，并要求租房人搬离房屋、支付逾期租金及违约金等。在诉讼过程中，房东应提供充分的证据证明其主张，如租房人支付租金的凭证、书面通知及沟通记录等。

额外建议：

• 完善租赁流程：为避免类似情况再次发生，房东在出租房屋时，应完善租赁流程，确保在租房人支付租金前或同时与其签订书面租赁合同。合同中应明确双方的权利和义务、租赁期限、租金及支付方式、违约责任等关键条款。
• 加强证据收集：在租赁过程中，房东应注意收集并保留相关证据，如租房人的身份信息、支付租金的凭证、沟通记录等。这些证据在后续可能发生的纠纷中将成为重要依据。
• 咨询专业律师：虽然我在此已给出了一些建议，但每个具体案件都有其独特性。如果房东在处理此类问题时遇到困难或不确定如何操作，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律指导。