核心结论：老人住院时两个儿子协商照顾，关键在于明确责任分配、建立沟通机制、考虑经济分担，并可签订书面协议以确保各方权益。以下是具体分析和建议：

1. 明确责任分配
   两个儿子可根据自身实际情况（如工作时间、居住距离、健康状况等）协商分工。例如：

   • 直接照顾：一人负责白天陪护，另一人负责夜间或周末；
     
   • 分工类型：一人负责医疗陪诊（如挂号、取药、与医生沟通），另一人负责生活照料（如送饭、洗漱、陪护）；
     
   • 轮换制度：若两人条件相当，可约定定期轮换（如每周或每月交替），避免长期单方负担过重。
     法律依据：根据《民法典》第26条，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务，责任分配需以自愿协商为基础，兼顾公平。

2. 建立沟通机制
   照顾老人需长期协作，建议通过以下方式减少矛盾：

   • 定期会议：每周或每月固定时间沟通老人病情、护理需求变化；
     
   • 信息共享：建立微信群或共享文档，实时更新老人用药记录、检查报告、医生建议；
     
   • 紧急联络：约定一方临时无法到场时的替代方案（如委托亲戚、聘请护工），并提前预留备用资金。
     提示：若一方长期不履行义务，另一方可保留沟通记录（如聊天记录、会议纪要）作为后续维权证据。

3. 经济分担方案
   若老人住院产生医疗费、护工费等开支，建议：

   • 按比例分担：根据两人收入比例分摊费用（如高收入者承担60%，低收入者承担40%）；
     
   • 均摊模式：若收入相当，可约定每人承担50%；
     
   • 专项账户：共同设立银行账户，按约定比例存入资金，专款专用。
     法律依据：根据《民法典》第1067条，子女对父母经济供养的义务不因分工差异而免除，经济分担需以书面协议明确，避免口头约定引发纠纷。

4. 签订书面协议（可选）
   为避免后续争议，可签订《赡养协议》，明确以下内容：

   • 照顾分工细节（时间、内容）；
     
   • 经济分担方式及支付时间；
     
   • 违约责任（如未按时支付费用或未履行陪护义务的补偿方式）；
     
   • 协议变更条件（如老人病情加重需调整分工）。
     提示：协议无需公证即具法律效力，但建议由律师起草或审核条款，确保合法有效。

特殊情况处理：

• 若一方拒绝协商或长期不履行义务，另一方可向居委会、村委会或司法所申请调解，或直接向法院起诉要求履行赡养义务（《民法典》第1067条）；
  
• 若老人丧失民事行为能力（如昏迷、痴呆），需先通过法院指定监护人，再由监护人代表老人主张权利。

如有具体纠纷或需要协议模板，可直接向我咨询，我会结合实际情况提供详细建议。