行政机关在收到行政履职申请后，确实必须依法进行审查，并在规定期限内以适当形式给予明确答复。这是行政机关的法定职责，也是保障申请人合法权益的重要法律原则。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据与答复的必要性
法定答复义务：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》、《中华人民共和国行政诉讼法》以及《政府信息公开条例》等相关法律法规，行政机关在收到公民、法人或其他组织的履职申请时，负有在法定期限内作出答复并履行相应职责的义务。这是行政机关依法行政的基本要求，也是保障申请人知情权、参与权和救济权的重要体现。
保障申请人权利：
- 申请人提出行政履职申请，通常是为了获取某种许可、信息或实现其他权益。行政机关的答复能让申请人及时了解其申请的处理结果，从而保障申请人的合法权益得到有效实现。
规范行政权力运行：
- 要求行政机关对行政申请给予答复，可以促使其依法、规范地处理申请事项，避免不作为或随意搁置申请等情况的发生，进而维护行政活动的有序性和严肃性。
二、答复的时限与形式
答复时限：
- 行政机关对履职申请的答复时限一般为六十天，但具体时限可能因申请类型和法律法规的不同而有所差异。例如，政府信息公开申请的答复时限通常为20个工作日，可延长至40个工作日。对于情况复杂或需要进一步调查核实的案件，行政机关可以依法延长答复期限，但延长期限不得超过法定规定。
答复形式：
- 虽然法律可能未直接规定履职申请必须书面回复，但书面回复具有正式性和法律效力，是行政机关履行职责的重要凭证。因此，在可能的情况下，行政机关应优先选择书面回复。当然，在某些特殊或紧急情况下，如口头告知、电话通知等，行政机关也可以选择非书面方式进行回复，但应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。
三、特殊情况下的答复要求
- 即使申请事项明显不属于某行政机关的职责范围，该行政机关也应在合理期限内告知申请人正确的办理途径等相关信息。这同样是一种形式的答复，体现了行政机关对公民、法人或其他组织负责任的态度。
四、未答复的法律后果与救济途径
- 如果行政机关未能在法定期限内作出答复，将构成不作为行为。申请人有权依法提起行政复议或行政诉讼，以进一步维护自己的合法权益。在行政复议或行政诉讼中，行政机关需要承担举证责任，证明其已经依法履行了答复义务。
五、实际操作中的建议
- 明确申请内容：申请人在提出行政履职申请时，应尽可能明确、具体地说明申请事项和理由，以便行政机关能够准确理解并依法处理。
- 保留申请证据：申请人应保留好申请的相关证据，如申请书、邮寄凭证等，以便在需要时证明自己已经提出了申请。
- 及时跟进申请进展：申请人可以在法定期限内主动向行政机关询问申请进展情况，以确保自己的申请得到及时处理。
综上所述，行政机关在收到行政履职申请后，必须依法进行审查，并在规定期限内以适当形式给予明确答复。这是行政机关的法定职责，也是保障公民、法人和其他组织合法权益的重要途径。