结论：打架斗殴是否可以开具无犯罪记录证明，主要取决于该行为是否构成犯罪并受到刑事处罚。若未触犯刑法，仅受治安管理处罚，则可开具；若触犯刑法并受刑事处罚，则不能开具。
一、不构成犯罪的情况
当打架斗殴的情节较轻，未达到犯罪的程度时，通常只会违反《中华人民共和国治安管理处罚法》。此类情况下，行为人可能面临警告、罚款或行政拘留等治安处罚。由于并未构成犯罪，因此不会留下犯罪记录，可以依法开具无犯罪记录证明。
举例：日常生活中因琐事发生的轻微争执和推搡，若公安机关依据《治安管理处罚法》进行了调解处理或给予了相应的治安处罚，这就不属于刑事犯罪行为，当事人有权申请并获取无犯罪记录证明。
二、构成犯罪的情况
若打架斗殴的情节严重，符合刑法中相关罪名的构成要件，如故意伤害罪、聚众斗殴罪、寻衅滋事罪等，则会被认定为犯罪。一旦经法院判定有罪，行为人就会留下犯罪记录，此时无法再开具无犯罪记录证明。
故意伤害罪：根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定，故意伤害他人身体，致人轻伤以上的，即构成故意伤害罪。例如，甲与乙发生冲突后，甲使用棍棒将乙打成轻伤，甲就可能因此被追究刑事责任，并留下犯罪记录。
聚众斗殴罪：依据《中华人民共和国刑法》第二百九十二条的规定，对于聚众斗殴的首要分子和其他积极参加者，会依法予以刑事处罚。多人结伙进行的打架斗殴行为，若情节严重，就可能构成此罪。
寻衅滋事罪：根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条的规定，随意殴打他人，情节恶劣的，或者在其他公共场所无事生非、肆意挑衅并进行殴打等行为，均构成寻衅滋事罪。
三、特殊情况说明
有罪但不起诉或免于刑事处罚：在某些情况下，虽然行为构成犯罪，但根据法律规定和具体情节，人民检察院可能作出不起诉决定，或者人民法院判决免于刑事处罚。对于这类情况，虽然未经过法院审判被定罪，但存在犯罪事实，因此在某些地区开具无犯罪证明时可能会注明相关情况，甚至可能无法开具。
记录错误或核实：如果认为无犯罪记录证明上的打架记录存在错误，如时间、地点、参与人等信息不准确，应及时与出具证明的公安机关沟通，并提供相关证据要求更正。
四、法律建议
了解法律后果：在参与打架斗殴前，应充分了解可能面临的法律后果，包括治安处罚和刑事处罚，以避免不必要的法律风险。
及时咨询：如果因打架斗殴面临法律纠纷或需要开具无犯罪记录证明，建议及时向我咨询，以便了解具体的法律程序和注意事项。
保留证据：在处理打架斗殴事件时，应尽可能保留相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便在需要时证明自己的清白或减轻法律责任。
综上所述，是否可以开具无犯罪记录证明，关键在于个人是否受过刑事处罚。若未受过刑事处罚，即使有过打架斗殴的行为，也可以开具无犯罪记录证明；但若因打架斗殴被判处刑罚，则无法再开具此类证明。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。