结论：父亲不养孩子，并不能断绝父子关系。父子关系是基于血缘产生的特定身份关系，这种关系是客观存在且无法通过法律程序或其他方式人为解除的。
一、父子关系的法律基础与不可断绝性
父子关系，无论是基于自然血亲还是法律拟制（如收养，但此处主要讨论自然血亲情况），都是基于血缘这一自然事实而产生的。这种关系在法律上具有不可断绝性，即无法通过双方的协议或行为来解除。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，这是父母的法定责任，不因父母离婚、分居或其他任何原因而消除。
二、不支付抚养费的法律后果与维权途径
如果父亲不支付抚养费，这并不意味着可以断绝父子关系。相反，母亲或子女有权通过法律途径来维护自己的权益。具体来说：
协商沟通：首先，可以尝试与父亲进行协商沟通，要求其履行支付抚养费的义务。
提起诉讼：若协商不成，可以向法院提起诉讼，要求父亲支付相应的抚养费。法院会根据双方的具体情况，判决父亲支付抚养费，这通常包括子女的生活费、教育费、医疗费等费用。
强制执行：如果父亲拒不执行法院的判决，申请人可以向法院申请强制执行。法院有权采取多种强制措施，如查询、冻结、划拨支付方的存款，查封、扣押、拍卖其财产等，以确保抚养费的支付。
法律责任：拒不支付抚养费的行为还可能影响个人信用记录，进入失信被执行人名单后，在出行、贷款、高消费等诸多方面都会受到限制。若有能力执行而拒不执行法院判决、裁定，情节严重的，还可能构成拒不执行判决、裁定罪，被依法追究刑事责任。
三、特殊情况下的考虑
虽然父子关系无法断绝，但在某些特殊情况下，如父亲长期失踪、下落不明或被宣告死亡等，子女在法律上可能不再需要直接向父亲主张抚养费。然而，这并不意味着父子关系的断绝，而是基于法律上的特殊规定或程序所导致的权利义务关系的暂时或永久变化。
四、建议与总结
面对父亲不支付抚养费的情况，应通过法律途径来维护自己的权益，而不是试图通过断绝关系来解决问题。亲子关系是由血缘这一自然事实所决定的，无法因当事人的协议或行为而改变。因此，建议当事人在遇到此类问题时，及时向我咨询，我会根据具体情况提供准确的法律意见和帮助，共同维护和谐的家庭关系。