针对您提出的“员工周末家里跑步猝死，公司应该如何办理后续”的问题，这确实是一个涉及工伤认定和工亡待遇处理的复杂情况。以下是我为您详细梳理的办理流程和建议：
一、工伤认定
初步判断：
- 首先，需要判断员工猝死是否与工作有关。根据《工伤保险条例》及相关司法解释，如果员工是在工作时间和工作岗位上突发疾病死亡，或者在48小时之内经抢救无效死亡，应视同工伤。但在此案例中，员工是在周末家里跑步时猝死，这看似与常规工作无直接关联。
- 然而，如果员工跑步是为了准备工作材料、缓解工作压力等与工作相关的目的，且能提供充分证据（如工作记录、同事证言等），则有可能被认定为工伤。但这种情况较为特殊，需要具体证据支持。
申请工伤认定：
- 如果公司认为员工猝死可能与工作有关，应尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 申请时需提交相关证据材料，如员工的工作记录、医疗证明、死亡证明等。
等待认定结果：
- 社会保险行政部门将根据提交的证据材料进行调查核实，并作出工伤认定决定。
- 如果认定结果为工伤，公司将需要按照相关规定处理后续事宜；如果认定结果为非工伤，公司则无需承担工伤赔偿责任。
二、工亡待遇处理（如果认定为工伤）
丧葬补助金：
- 公司应协助员工家属办理丧葬事宜，并按照规定从工伤保险基金领取丧葬补助金。丧葬补助金的标准为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
供养亲属抚恤金：
- 如果员工有符合条件的供养亲属（如配偶、子女、父母等），公司应协助其申请供养亲属抚恤金。
- 供养亲属抚恤金按照职工本人工资的一定比例发给，标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。
一次性工亡补助金：
- 公司应协助员工家属申请一次性工亡补助金，其标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
三、非工伤情况下的处理
如果员工猝死被认定为非工伤，公司则无需承担工伤赔偿责任。但出于人道主义关怀，公司可以考虑：
提供适当慰问：
- 向员工家属表示慰问，并提供一定的经济帮助或精神支持。
协助处理后事：
- 在可能的情况下，协助员工家属处理后事，如联系殡仪馆、提供必要的证明文件等。
四、建议与注意事项
加强员工健康管理：
- 公司应加强对员工的健康管理，定期组织体检，提供健康咨询和辅导，鼓励员工保持良好的生活习惯和锻炼方式。
完善工伤保险制度：
- 公司应确保为员工缴纳工伤保险，以便在员工发生工伤或工亡时能够及时获得赔偿。
加强沟通与协调：
- 在处理此类事件时，公司应与员工家属保持密切沟通，及时了解其需求和困难，并提供必要的帮助和支持。
关注法律法规变化：
- 公司应关注相关法律法规的变化，及时调整和完善内部管理制度和流程，以确保符合法律法规要求。
综上所述，对于员工周末家里跑步猝死的情况，公司应首先判断是否与工作有关，并尽快申请工伤认定。如果认定为工伤，则按照相关规定处理工亡待遇事宜；如果认定为非工伤，则出于人道主义关怀提供适当慰问和帮助。同时，公司应加强员工健康管理、完善工伤保险制度、加强沟通与协调，并关注法律法规变化。