刑事立案后，公安机关并非必然有权立即抓捕犯罪嫌疑人，是否抓捕取决于案件具体情况和法律规定的条件。以下从多个角度为你详细分析：
一、逮捕的法定条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，逮捕作为一种严厉的刑事强制措施，其适用必须同时满足以下三个核心条件：
有证据证明有犯罪事实：这是逮捕的基本前提。公安机关必须掌握相应的、经查证属实的证据，能够证明犯罪嫌疑人存在犯罪行为。这些证据可以包括物证、书证、证人证言等多种形式。
可能判处徒刑以上刑罚：这一条件要求犯罪嫌疑人的行为可能构成犯罪，并且其可能面临的刑罚是徒刑或更重的刑罚。这通常需要对犯罪的性质、情节以及犯罪嫌疑人的个人情况等因素进行综合评估。
采取取保候审尚不足以防止发生社会危险性，而有逮捕必要：即使满足了前两个条件，如果通过其他较轻的强制措施（如取保候审）足以防止犯罪嫌疑人继续危害社会，那么也不一定需要逮捕。只有当其他措施无法有效防止社会危险性，且确有逮捕必要时，才能依法实施逮捕。
二、立案后的侦查与抓捕决策
立案是刑事诉讼的起点，标志着案件正式进入法律处理流程。在立案后，公安机关会开展一系列的调查工作，包括询问当事人、证人，收集物证、书证等关键证据材料。这一阶段的目的是进一步查清案件事实，为后续的侦查和审判打下坚实基础。
关于是否抓捕犯罪嫌疑人，公安机关会根据案件的具体情况和证据状况来做出决定。如果经过初步调查，公安机关掌握了足够的证据证明犯罪嫌疑人有犯罪事实，并且符合法定的逮捕条件，那么就会依法决定对犯罪嫌疑人进行逮捕并实施抓捕行动。然而，如果证据还不充分，或者犯罪嫌疑人的社会危险性较小，公安机关可能会先采取取保候审、监视居住等较为宽松的强制措施，以便继续进行侦查和收集证据。
三、影响抓捕决策的其他因素
除了上述法定条件外，还有一些其他因素可能影响公安机关的抓捕决策：
犯罪嫌疑人的特定条件：如犯罪嫌疑人患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女，或者系生活不能自理的人的唯一扶养人等特定情况，且采取取保候审不致发生社会危险性的，公安机关通常会优先考虑非逮捕措施。
社会危险性评估：公安机关会评估犯罪嫌疑人是否存在实施新犯罪、危害国家安全、公共安全或社会秩序的现实危险，以及可能毁灭、伪造证据，干扰证人作证或串供等行为。如果存在这些危险，公安机关可能会更倾向于采取逮捕措施。
四、实际案例与操作建议
在实际操作中，案件情况往往复杂多变。例如，有些案件可能证据充分但犯罪情节轻微，公安机关可能会选择不逮捕而采取其他强制措施；而有些案件可能证据尚不充分但犯罪嫌疑人存在较大的社会危险性，公安机关可能会先采取逮捕措施以确保社会安全。
如果你或你认识的人遇到了类似的情况，建议保持冷静，积极配合公安机关的调查工作，并及时向我咨询以了解具体的法律程序和权利义务。我会根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和帮助。