结论概述：
- 若食堂因老鼠问题已被罚款且后续被关停，是否还会被罚款取决于关停的原因及是否涉及新的违法行为。
- 若关停是因为同一老鼠问题且未涉及新的违法行为，通常不会因同一问题再次被罚款；但若关停涉及新的违法行为或未整改到位，则可能面临新的罚款。
详细分析：
一、同一违法行为不会重复处罚
根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，对当事人的同一个违法行为，不得给予两次以上罚款的行政处罚。这意味着，如果食堂因为存在老鼠问题已经被市场监督管理局罚款，并且该罚款已经执行完毕，那么在没有新的违法行为出现的情况下，市场监督管理局不会因为同一老鼠问题再次对食堂进行罚款。
二、关停可能涉及的新情况
关停原因：
- 如果食堂被关停是因为同一老鼠问题且该问题未得到整改，市场监督管理局在关停的同时，可能会要求食堂进行整改，并在整改完成后申请重新开业。在此情况下，如果食堂在关停期间未进行整改或整改不到位，市场监督管理局可能会根据相关规定对食堂进行进一步的处罚，但这通常不是简单的“罚款”，而是可能涉及更严重的行政处罚，如吊销营业执照等。不过，从罚款的角度来看，不会因为同一老鼠问题再次罚款。
- 如果食堂被关停是因为涉及其他新的违法行为（如使用过期食材、卫生条件极差等），那么市场监督管理局有权根据新的违法行为对食堂进行罚款或其他行政处罚。
整改与复查：
- 食堂在接到罚款通知后，应积极进行整改，消除老鼠等卫生隐患。
- 市场监督管理局在罚款后，通常会进行复查，确认食堂是否已整改到位。如果食堂已整改到位，市场监督管理局将不会进一步处罚；如果未整改或整改不到位，则可能面临更严重的后果。
三、法律建议
- 积极整改：食堂在接到罚款通知后，应立即采取措施进行整改，确保卫生条件符合相关法律法规的要求。
- 配合调查：食堂应积极配合市场监督管理局的调查和复查工作，提供必要的资料和证据。
- 寻求法律帮助：如果食堂对罚款或关停决定有异议，可以寻求法律帮助，通过行政复议或行政诉讼等途径维护自己的合法权益。
四、可能后果
- 如果食堂积极整改并配合调查：通常不会面临进一步的罚款或更严重的行政处罚。
- 如果食堂未整改或整改不到位：可能面临更严重的行政处罚，如吊销营业执照、高额罚款等。
- 如果食堂涉及新的违法行为：将根据新的违法行为受到相应的处罚。
总结与启示：
食堂因老鼠问题被罚款后，是否还会因关停被罚款取决于关停的原因及是否涉及新的违法行为。食堂应积极整改、配合调查，并在必要时寻求法律帮助，以维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。