结论：未满16周岁的未成年人到工厂陪其母亲上班，工厂不应与其签订劳动合同，且工厂接纳该未成年人上班的行为本身涉嫌违法用工；若工厂想以某种书面形式规范相关事宜，可考虑签订非劳动合同性质的协议，但需谨慎处理以避免法律风险。以下为详细分析：

一、关于劳动合同的签订

1. 法定劳动年龄：根据《中华人民共和国劳动法》第十五条，禁止用人单位招用未满十六周岁的未成年人。因此，工厂不得与未满16周岁的未成年人签订劳动合同，该行为违反了法律的强制性规定。

2. 法律后果：如果工厂违反规定招用未满16周岁的未成年人，将面临劳动保障行政部门的处罚，包括责令改正、罚款等。同时，该劳动合同将被认定为无效，工厂可能还需承担因无效合同而产生的其他法律责任。

二、关于非劳动合同性质的协议

1. 协议性质：虽然工厂不能与未成年人签订劳动合同，但在某些特殊情况下，如未成年人仅是陪同母亲上班，并不实际参与工作，工厂可能希望与未成年人或其监护人签订某种书面协议以明确双方的权利义务。然而，这种协议不能具有劳动合同的性质，且必须确保不违反法律法规的强制性规定。

2. 协议内容：如果工厂确实需要签订此类协议，协议内容应严格限制在非劳动关系的范围内，例如可以约定未成年人在工厂内的行为规范、安全注意事项等。但必须明确的是，这种协议不能赋予未成年人任何劳动权利或义务，也不能作为工厂用工的依据。

3. 法律风险：即使签订了非劳动合同性质的协议，工厂仍需谨慎处理以避免法律风险。例如，应确保协议内容不违反法律法规的强制性规定，不侵犯未成年人的合法权益；同时，应加强对未成年人在工厂内的管理和保护，防止发生意外事故或侵犯未成年人权益的事件。

三、建议与注意事项

1. 遵守法律法规：工厂应严格遵守国家关于未成年人保护和劳动用工的法律法规，不得招用未满16周岁的未成年人。

2. 加强管理：如果未成年人确实需要陪同母亲上班，工厂应加强对未成年人的管理和保护，确保其安全并防止其参与任何工作活动。

3. 咨询专业意见：在处理涉及未成年人的法律事务时，工厂应咨询专业律师或相关机构的意见，以确保合法合规并降低法律风险。