关于新公司法下执行事务的董事（通常称为执行董事）的选举方式，这主要涉及到公司的内部治理结构和相关法律规定。以下是对这一问题的详细解答：
一、执行董事的选举背景
新修订的《中华人民共和国公司法》对执行董事的规定更加全面具体，旨在规范公司治理结构，提升治理效率，并保护公司和股东的合法权益。在股东人数较少或者规模较小的有限责任公司中，可以设一名执行董事，不设董事会，以简化公司治理结构。
二、执行董事的选举方式
公司章程规定：
- 执行董事的选举方式首先应遵循公司章程的规定。公司章程是公司的“宪法”，它规定了公司的基本制度和治理结构，包括董事的选举、任期、职权等。
- 因此，在选举执行董事时，应首先查阅公司章程，了解其中关于执行董事选举的具体规定。
股东会选举：
- 在没有特别规定的情况下，执行董事通常由股东会选举产生。股东会是公司的最高权力机构，由所有股东组成，负责决定公司的重大事项。
- 股东会可以通过投票的方式选举执行董事，选举过程应遵循公平、公正、公开的原则，确保所有股东的合法权益得到保障。
选举程序：
- 选举执行董事时，应提前通知所有股东，并告知选举的时间、地点、方式等具体事项。
- 选举过程中，应确保所有股东都有机会参与投票，并按照公司章程或相关法律法规的规定进行计票和宣布结果。
三、执行董事的任职资格与限制
在选举执行董事时，还需注意其任职资格与限制，以确保选举出的执行董事符合法律法规的要求。根据新公司法的规定，以下人员不得担任执行董事：
- 无民事行为能力或者限制民事行为能力的；
- 因贪污、贿赂、侵占财产、挪用财产或破坏社会主义市场经济秩序被判处刑罚，执行期满未逾五年的；
- 担任破产清算的公司、企业的董事或厂长、经理，对公司破产负有个人责任的，自公司破产清算完结之日起未逾三年的；
- 担任因违法被吊销营业执照、责令关闭的公司、企业的法定代表人，并负有个人责任的，自公司被吊销营业执照之日起未逾三年的；
- 个人所负数额较大的债务到期未清偿的。
四、执行董事的任期与更换
选举出的执行董事应按照公司章程的规定履行职责，其任期也由公司章程规定，但每届任期不得超过三年。董事任期届满，连选可以连任。如果公司需要更换执行董事，应按照公司章程和法律法规的规定进行解职和更换程序。
综上所述，新公司法下执行事务的董事（执行董事）的选举方式主要遵循公司章程的规定，通常由股东会选举产生，并需注意其任职资格与限制以及任期与更换的相关规定。